物理実験・誤差論の問題

時刻 $x=1,2,3,4,5\text{s}$ の $5$ 点で物体の位置 $y$（単位 cm）を測定し、最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめた。残差から推定した $y$ の測定誤差の大きさは $\sigma =0.20\text{cm}$ であった。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差は各点で独立で等しい大きさとする。

この直線を使って、時刻 $x_0=7\text{s}$ での位置を $\hat{y}=a+b{x}_0$ と推定する。傾きと切片の共分散 $\mathrm{Cov}(a,b)=-\frac{\bar{x}{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ を含めて計算すると、$\hat{y}$ の標準誤差は
$${\sigma }_{\hat{y}}=\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$$
で与えられる（$n$ はデータの数、$\bar{x}$ は $x_i$ の平均）。

${\sigma }_{\hat{y}}$ は何 cm か。根号を用いた正確な値で答えよ。

なめらかな斜面上を一定の加速度で運動する台車の速さ $v$ を、速度センサーで時刻 $t$ ごとに測定したところ、次の結果が得られた。

このデータに直線 $v=v_0+at$ を最小二乗法であてはめる。時刻 $t$ の誤差は無視でき、各 $v$ の測定値は互いに独立で、同じ大きさの（未知の）標準偏差をもつとする。この標準偏差は、あてはめた直線からの残差の二乗和を自由度 $n-2$（$n$ はデータの個数）で割った値の平方根で推定する。

加速度 $a$ の最小二乗推定値と、その標準誤差 ${\sigma }_a$ を、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、この順に組 $(a,{\sigma }_a)$ の形で求めよ。ただし、値は分数または根号を用いた正確な値で答えよ。

水平な机の上を一定の速さで動く台車の位置 $x$ を、時刻 $t$ ごとに記録したところ、次の結果が得られた。

時刻 $t$ の誤差は無視でき、位置 $x$ の測定誤差はすべての点で等しいとする。測定値を直線 $x=at+b$ に最小二乗法で当てはめたとき（残差 ${\sum }_i\{x_i-(a{t}_i+b){\}}^2$ を最小にする $a,b$ を選ぶ）、傾き $a[cm/s]$ と切片 $b[\mathrm{cm}]$ を、この順に組 $(a,b)$ として分数または有限小数の正確な値で求めよ。

ある棒の長さを同じ方法で $5$ 回測定したところ、次の値（単位は mm）が得られた。
$$152,154,155,156,158$$
標本標準偏差を $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$（$n$ は測定回数、$\bar{x}$ は平均値）で定め、平均の標準誤差を $\frac{s}{\sqrt{n}}$ とする。

この測定の平均の標準誤差は何 mm か。正確な値で答えよ。

同じ量を 2 つの班 A, B がそれぞれ繰り返し測定し、次のように報告した（単位は mm）。

• 班 A: 測定回数 $5$、平均値 $10$、標準偏差 $2$
• 班 B: 測定回数 $5$、平均値 $14$、標準偏差 $2$

ここで標準偏差は、測定回数を $n$、測定値を $x_i$、平均値を $\bar{x}$ として $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$ で定めたものである。

2 つの班の測定値をすべて合わせて $10$ 個のデータとみなしたとき、その標準偏差（同じく $n-1$ で割る定義）は何 mm か。根号を用いた正確な値で答えよ。