物理実験・誤差論の問題

ある棒の長さを同じ方法で $5$ 回測定したところ、次の値（単位は mm）が得られた。
$$152,154,155,156,158$$
標本標準偏差を $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$（$n$ は測定回数、$\bar{x}$ は平均値）で定め、平均の標準誤差を $\frac{s}{\sqrt{n}}$ とする。

この測定の平均の標準誤差は何 mm か。正確な値で答えよ。

ある棒の長さを、同じ条件のもとで 2 人の学生 A, B が測定した。A は $4$ 回、B は $6$ 回測定し、それぞれ次の結果を報告した（単位は $\mathrm{mm}$）。

• A: $n_A=4$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_A=20.00$、標準偏差 $s_A=0.30$
• B: $n_B=6$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_B=20.50$、標準偏差 $s_B=0.40$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義されたものとする。A と B の $10$ 個の測定値をすべて 1 つのデータとして扱い、その平均値を棒の長さの推定値とする。この平均値の標準誤差（$10$ 個の測定値全体の標準偏差 $s$ を用いて $s/\sqrt{10}$ で定義する）は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある金属棒の長さ $L$ を、同じ条件・同じ測定器で繰り返し測定した。

- 1 日目に $6$ 回測定した。個々の測定値は記録が失われたが、その平均値は ${\bar{L}}_1=50.20\mathrm{mm}$、標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）は $s_1=0.14\mathrm{mm}$ であった。
- 2 日目に同じ条件でさらに $4$ 回測定し、次の値（単位は $\mathrm{mm}$）を得た。
$$50.23,50.39,50.11,50.27$$

$2$ 日間の合計 $10$ 個の測定値をひとつの標本とみなし、その平均値を $L$ の推定値とする。このとき、標本標準偏差 $s$ を $10$ 個の測定値から（$n-1=9$ で割る定義で）求め、平均の標準誤差を $s/\sqrt{10}$ として計算せよ。答えは $\mathrm{mm}$ 単位で、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

一定の速さで動く台車の位置 $y$（単位 cm）を、時刻 $x$（単位 s）ごとに測定して次の $5$ 組のデータを得た。

このデータに最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめると、$a=1.0$、$b=2.0$ となる。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差はどの点でも同じ大きさとする。

残差 $r_i=y_i-(a+b{x}_i)$ から $\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2}$（$n$ はデータの組の数）を推定し、傾きの標準誤差を ${\sigma }_b=\frac{\sigma }{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$ で求めるものとする。

傾き $b$ の標準誤差 ${\sigma }_b$ は何 cm/s か。根号を用いた正確な値で答えよ。

時刻 $x=1,2,3,4,5\text{s}$ の $5$ 点で物体の位置 $y$（単位 cm）を測定し、最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめた。残差から推定した $y$ の測定誤差の大きさは $\sigma =0.20\text{cm}$ であった。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差は各点で独立で等しい大きさとする。

この直線を使って、時刻 $x_0=7\text{s}$ での位置を $\hat{y}=a+b{x}_0$ と推定する。傾きと切片の共分散 $\mathrm{Cov}(a,b)=-\frac{\bar{x}{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ を含めて計算すると、$\hat{y}$ の標準誤差は
$${\sigma }_{\hat{y}}=\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$$
で与えられる（$n$ はデータの数、$\bar{x}$ は $x_i$ の平均）。

${\sigma }_{\hat{y}}$ は何 cm か。根号を用いた正確な値で答えよ。