物理実験・誤差論の問題

一定の速さで動く台車の位置 $y$（単位 cm）を、時刻 $x$（単位 s）ごとに測定して次の $5$ 組のデータを得た。

このデータに最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめると、$a=1.0$、$b=2.0$ となる。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差はどの点でも同じ大きさとする。

残差 $r_i=y_i-(a+b{x}_i)$ から $\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2}$（$n$ はデータの組の数）を推定し、傾きの標準誤差を ${\sigma }_b=\frac{\sigma }{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$ で求めるものとする。

傾き $b$ の標準誤差 ${\sigma }_b$ は何 cm/s か。根号を用いた正確な値で答えよ。

単振り子の長さ $L$ と周期 $T$ を測定し、重力加速度を
$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$
で求める。$L$ の相対標準不確かさは $\frac{u(L)}{L}=0.3\%$、$T$ の相対標準不確かさは $\frac{u(T)}{T}=0.2\%$ であった。$L$ と $T$ の測定は互いに独立で、$4{\pi }^2$ は誤差を含まない定数とする。

独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して、$q=C{x}^a{y}^b$（$C$ は定数）の相対標準不確かさは
$$\frac{u(q)}{q}=\sqrt{a^2{\left(\frac{u(x)}{x}\right)}^2+b^2{\left(\frac{u(y)}{y}\right)}^2}$$
で与えられるものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ は何 % か。小数で答えよ。

ある抵抗器の抵抗値を 3 つの研究室が独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\Omega$）。

• 研究室 1: $x_1=10.0$、標準不確かさ ${\sigma }_1=0.2$
• 研究室 2: $x_2=10.4$、標準不確かさ ${\sigma }_2=0.2$
• 研究室 3: $x_3=10.8$、標準不確かさ ${\sigma }_3=0.2$

これらの重み付き平均を $\bar{x}$ とし（重みは $w_i=1/{\sigma }_i^2$）、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算する。自由度は、測定の数から推定したパラメータの数（平均値の 1 個）を引いた $\nu =3-1=2$ とする。

${\chi }^2/\nu$ の値を求めよ。

凸レンズの焦点距離 $f$ を、物体からレンズまでの距離 $a$ とレンズから像までの距離 $b$ を測定して、レンズの式から得られる
$$f=\frac{ab}{a+b}$$
で求める。測定結果は $a=30.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(a)=0.3\text{cm}$）、$b=60.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(b)=0.9\text{cm}$）であった。$a$ と $b$ の測定は互いに独立とする。

1 次の誤差伝播則
$$u(f{)}^2={\left(\frac{\partial f}{\partial a}\right)}^{2}u(a{)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial b}\right)}^{2}u(b{)}^2$$
（偏微分係数は測定値での値を用いる）により、$f$ の標準不確かさ $u(f)$ は何 cm か。分数で答えよ。

単振り子を用いて重力加速度 $g$ を同じ条件で 5 回測定したところ、次の値（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$）が得られた。
$$9.84,9.76,9.82,9.78,9.80$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、標本標準偏差 $s$ は $n$ 個の測定値 $x_i$ とその平均 $\bar{x}$ を用いて
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義する。平均値の標準誤差 $s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ を $m/{\mathrm{s}}^2$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。