物理実験・誤差論の問題

単振り子の長さ $L$ と周期 $T$ を測定し、重力加速度を
$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$
で求める。$L$ の相対標準不確かさは $\frac{u(L)}{L}=0.3\%$、$T$ の相対標準不確かさは $\frac{u(T)}{T}=0.2\%$ であった。$L$ と $T$ の測定は互いに独立で、$4{\pi }^2$ は誤差を含まない定数とする。

独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して、$q=C{x}^a{y}^b$（$C$ は定数）の相対標準不確かさは
$$\frac{u(q)}{q}=\sqrt{a^2{\left(\frac{u(x)}{x}\right)}^2+b^2{\left(\frac{u(y)}{y}\right)}^2}$$
で与えられるものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ は何 % か。小数で答えよ。

ビーカーに入れた水の質量を求めるため、空のビーカーの質量 $x$ と、水を入れたビーカーの質量 $y$ を別々にはかった。結果は次のとおりであった。

• 空のビーカー: $x=48.2\text{g}$、標準不確かさ $u(x)=0.3\text{g}$
• 水を入れたビーカー: $y=152.6\text{g}$、標準不確かさ $u(y)=0.4\text{g}$

水の質量を $m=y-x$ で求める。$x$ と $y$ の測定は互いに独立であるとし、独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して $q=ax+by$ の標準不確かさは $u(q)=\sqrt{a^{2}u(x{)}^2+b^{2}u(y{)}^2}$ で与えられるものとする。

水の質量 $m$ の標準不確かさ $u(m)$ は何 g か。小数で答えよ。

時刻 $x=1,2,3,4,5\text{s}$ の $5$ 点で物体の位置 $y$（単位 cm）を測定し、最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめた。残差から推定した $y$ の測定誤差の大きさは $\sigma =0.20\text{cm}$ であった。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差は各点で独立で等しい大きさとする。

この直線を使って、時刻 $x_0=7\text{s}$ での位置を $\hat{y}=a+b{x}_0$ と推定する。傾きと切片の共分散 $\mathrm{Cov}(a,b)=-\frac{\bar{x}{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ を含めて計算すると、$\hat{y}$ の標準誤差は
$${\sigma }_{\hat{y}}=\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$$
で与えられる（$n$ はデータの数、$\bar{x}$ は $x_i$ の平均）。

${\sigma }_{\hat{y}}$ は何 cm か。根号を用いた正確な値で答えよ。

ある凸レンズの焦点距離 $f$ を、4 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $\mathrm{cm}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=20.02\pm 0.10,f_2=19.90\pm 0.20,f_3=20.10\pm 0.20,f_4=19.98\pm 0.10$$
各結果の誤差は互いに独立な正規分布に従い、偶然誤差のみを含むものとする。4 つの結果を各標準不確かさ ${\sigma }_i$ の 2 乗の逆数 $w_i=1/{\sigma }_i^2$ を重みとして重み付き平均した値を $\bar{f}$ とするとき、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4{\left(\frac{f_i-\bar{f}}{{\sigma }_i}\right)}^2$$
の値を求めよ。答えは正確な値（小数または分数）で答えよ。

ある共振器の共振周波数 $f$ を、4 つの研究グループが互いに独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\mathrm{Hz}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=2500\pm 1,f_2=2504\pm 2,f_3=2498\pm 2,f_4=2502\pm 1$$
各測定値の誤差は互いに独立で正規分布に従うとし、これらを重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $f_i$ の標準不確かさ）で重み付き平均して
$$\bar{f}=\frac{{\sum }_{i=1}^4{w}_i{f}_i}{{\sum }_{i=1}^4{w}_i},{\sigma }_{\bar{f}}={\left(\sum _{i=1}^4{w}_i\right)}^{-1/2}$$
を求める。さらに、測定値どうしの食い違いを評価するため
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4\frac{(f_i-\bar{f}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算し、${\chi }^2/(N-1)$（$N=4$）が $1$ より大きい場合には、不確かさを拡大因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ 倍して、最終的な不確かさを ${\sigma }^{\prime }=S{\sigma }_{\bar{f}}$ とする（$1$ 以下の場合は ${\sigma }^{\prime }={\sigma }_{\bar{f}}$ とする）。

この手順で得られる最終的な不確かさ ${\sigma }^{\prime }$ を、単位 $\mathrm{Hz}$ で、根号を含む正確な値で求めよ。