物理実験・誤差論の問題

単振り子の長さ $L$ と周期 $T$ を測定し、重力加速度を
$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$
で求める。$L$ の相対標準不確かさは $\frac{u(L)}{L}=0.3\%$、$T$ の相対標準不確かさは $\frac{u(T)}{T}=0.2\%$ であった。$L$ と $T$ の測定は互いに独立で、$4{\pi }^2$ は誤差を含まない定数とする。

独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して、$q=C{x}^a{y}^b$（$C$ は定数）の相対標準不確かさは
$$\frac{u(q)}{q}=\sqrt{a^2{\left(\frac{u(x)}{x}\right)}^2+b^2{\left(\frac{u(y)}{y}\right)}^2}$$
で与えられるものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ は何 % か。小数で答えよ。

最小表示が $d=0.1\text{g}$ のディジタルはかりで物体の質量をはかったところ、表示は $36.4\text{g}$ であった。表示値は真の値を最小表示の桁に丸めたものとし、真の値は表示値を中心とする幅 $d$ の区間 $[36.35\text{g},36.45\text{g}]$ に一様に分布するとみなす。このとき、分解能による標準不確かさは $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ で与えられる。

この測定の分解能による標準不確かさは何 g か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし $\sqrt{3}=1.732$ とする。

凸レンズの焦点距離 $f$ を、物体からレンズまでの距離 $a$ とレンズから像までの距離 $b$ を測定して、レンズの式から得られる
$$f=\frac{ab}{a+b}$$
で求める。測定結果は $a=30.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(a)=0.3\text{cm}$）、$b=60.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(b)=0.9\text{cm}$）であった。$a$ と $b$ の測定は互いに独立とする。

1 次の誤差伝播則
$$u(f{)}^2={\left(\frac{\partial f}{\partial a}\right)}^{2}u(a{)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial b}\right)}^{2}u(b{)}^2$$
（偏微分係数は測定値での値を用いる）により、$f$ の標準不確かさ $u(f)$ は何 cm か。分数で答えよ。

重力加速度 $g$ を 2 つの異なる方法で独立に測定し、次の結果を得た。

• 方法 A: $x_1=9.78{\text{m/s}}^2$、標準不確かさ ${\sigma }_1=0.02{\text{m/s}}^2$
• 方法 B: $x_2=9.84{\text{m/s}}^2$、標準不確かさ ${\sigma }_2=0.04{\text{m/s}}^2$

この 2 つの結果を、重み $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$ の重み付き平均
$$\bar{x}=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2}{w_1+w_2}$$
にまとめる。重み付き平均 $\bar{x}$ は何 ${\text{m/s}}^2$ か。小数で答えよ（丸めずに正確な値で答えよ）。

最小表示（分解能）が $0.1\mathrm{g}$ のデジタル天びんで、試料の質量を次のように求めた。

• 空の容器をのせたときの表示: $25.3\mathrm{g}$
• 容器に試料を入れてのせたときの表示: $37.8\mathrm{g}$

試料の質量は、この 2 つの表示の差 $m=37.8-25.3=12.5\mathrm{g}$ とする。天びんの誤差は表示の丸め（分解能）によるものだけとし、各表示の真の値は、表示値を中心とする幅 $0.1\mathrm{g}$ の区間（表示値 $\pm 0.05\mathrm{g}$）に一様に分布すると考える。また、2 回の読み取りの丸め誤差は互いに独立であるとする。

このとき、$m$ の標準不確かさ（標準偏差）は何 $\mathrm{g}$ か。根号を含む正確な値で答えよ。