物理実験・誤差論の問題

最小表示が $d=0.1\text{g}$ のディジタルはかりで物体の質量をはかったところ、表示は $36.4\text{g}$ であった。表示値は真の値を最小表示の桁に丸めたものとし、真の値は表示値を中心とする幅 $d$ の区間 $[36.35\text{g},36.45\text{g}]$ に一様に分布するとみなす。このとき、分解能による標準不確かさは $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ で与えられる。

この測定の分解能による標準不確かさは何 g か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし $\sqrt{3}=1.732$ とする。

振り子の周期 $T$ を次の方法で測定する。最小表示（分解能）が $d=0.01\text{s}$ のデジタル時計を連続して動かしておき、振り子がある位置を通過した瞬間の表示 $t_1$ を読み、そこから $N$ 回振動して（$N$ は正の整数）同じ位置を同じ向きに通過した瞬間の表示 $t_2$ を読む。周期は $T=\frac{t_2-t_1}{N}$ として求める。

誤差の要因としては時計の分解能だけを考え（人の反応時間などによる誤差は考えない）、次のようにみなす。
- 1 回の読み取りの真の値は、表示値を中心とする幅 $d$ の区間に一様に分布するとし、その標準不確かさを $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ とする。
- $t_1$ と $t_2$ の読み取りの誤差は互いに独立である。

周期はおよそ $1.5\text{s}$ であり、相対標準不確かさ $\frac{u(T)}{T}$ の計算では $T=1.5\text{s}$ を用いる。$\frac{u(T)}{T}\le 5.0\times 10^{-5}$ となるような $N$ の最小値を求めよ。

なめらかな斜面上を一定の加速度で運動する台車の速さ $v$ を、速度センサーで時刻 $t$ ごとに測定したところ、次の結果が得られた。

このデータに直線 $v=v_0+at$ を最小二乗法であてはめる。時刻 $t$ の誤差は無視でき、各 $v$ の測定値は互いに独立で、同じ大きさの（未知の）標準偏差をもつとする。この標準偏差は、あてはめた直線からの残差の二乗和を自由度 $n-2$（$n$ はデータの個数）で割った値の平方根で推定する。

加速度 $a$ の最小二乗推定値と、その標準誤差 ${\sigma }_a$ を、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、この順に組 $(a,{\sigma }_a)$ の形で求めよ。ただし、値は分数または根号を用いた正確な値で答えよ。

一様な金属の円柱の密度 $\rho$ を、次の測定から求める。

• 質量: 天びんで、空の容器の質量 $M_0$ と、容器に円柱を入れたときの質量 $M$ をそれぞれ 1 回ずつ量り、円柱の質量を $m=M-M_0$ とする。結果は $M_0=30.00\mathrm{g}$、$M=80.00\mathrm{g}$ で、どちらの測定値の標準不確かさも $0.05\mathrm{g}$ である。
• 直径: $d=20.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.05\mathrm{mm}$
• 高さ: $h=40.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.12\mathrm{mm}$

密度は $$\rho =\frac{4m}{\pi d^{2}h}$$ で計算する。$M_0,M,d,h$ の誤差は互いに独立（無相関）で、不確かさは測定値に比べて十分小さいので誤差の伝播は 1 次の近似で扱えるものとする。円周率 $\pi$ の誤差は考えない。

このとき、$\rho$ の相対不確かさ $\frac{\Delta \rho }{\rho }$ は何 $\%$ か。正確な値で求めよ。

銅線を恒温槽に入れ、温度 $t$ を変えながら電気抵抗 $R$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の測定誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、どれも等しい標準偏差 ${\sigma }_R=0.020\Omega$ をもつとする。この範囲で $R$ は $t$ の 1 次関数 $R=a+bt$ で表されるとして、最小二乗法により $a$, $b$ を決める。

切片 $a$（$t=0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値）とその標準誤差 ${\sigma }_a$ を、$\Omega$ 単位で求め、$(a,{\sigma }_a)$ の組として答えよ。ただし $a$ は正確な値（小数第 3 位まで）、${\sigma }_a$ は ${\sigma }_R$ から誤差伝播で求め、有効数字 2 桁で答えること。