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物理実験・誤差論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理物理実験・誤差論

一様な金属の円柱の密度 $ρ$ を、次の測定から求める。

質量: 天びんで、空の容器の質量 $M_{0}$ と、容器に円柱を入れたときの質量 $M$ をそれぞれ 1 回ずつ量り、円柱の質量を $m = M - M_{0}$ とする。結果は $M_{0} = 30.00 g$ 、 $M = 80.00 g$ で、どちらの測定値の標準不確かさも $0.05 g$ である。
直径: $d = 20.00 mm$ 、標準不確かさ $0.05 mm$
高さ: $h = 40.00 mm$ 、標準不確かさ $0.12 mm$

密度は $ρ = \frac{4 m}{π d ^{2} h}$ で計算する。 $M_{0}, M, d, h$ の誤差は互いに独立（無相関）で、不確かさは測定値に比べて十分小さいので誤差の伝播は 1 次の近似で扱えるものとする。円周率 $π$ の誤差は考えない。

このとき、 $ρ$ の相対不確かさ $\frac{Δ ρ}{ρ}$ は何 $%$ か。正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

和と差の誤差伝播（説明と入口の問題）
積・商・べき乗の相対誤差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（70 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず和・差で表される $m = M - M_{0}$ の絶対誤差を求め、そのあと積・商・べき乗で表される $ρ$ の相対誤差を考える。

ヒント 2

独立な誤差の合成: 和・差では $Δ m = (Δ M)^{2} + (Δ M_{0})^{2}$ 、積・べき乗では $(\frac{Δ ρ}{ρ})^{2} = (\frac{Δ m}{m})^{2} + (2 \frac{Δ d}{d})^{2} + (\frac{Δ h}{h})^{2}$ 。

ヒント 3

$Δ m = 0.05 2 g$ 、 $m = 50.00 g$ より $(\frac{Δ m}{m})^{2} = 2 \times 1 0^{- 6}$ 。同様に $(2 \frac{Δ d}{d})^{2}$ と $(\frac{Δ h}{h})^{2}$ を $1 0^{- 6}$ 単位で計算して足す。

答えと解説

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0.6

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解説を読む

互いに独立な誤差は、1 次の近似のもとで二乗和の平方根で合成する。

(1) 和・差の誤差（質量 $m$ ）

$m = M - M_{0}$ のように和・差で表される量では、絶対誤差を二乗和で合成する。
$Δ m = (Δ M)^{2} + (Δ M_{0})^{2} = 0.0 5^{2} + 0.0 5^{2} = 0.05 2 g$
$m = 80.00 - 30.00 = 50.00 g$ なので、
$(\frac{Δ m}{m})^{2} = (\frac{0.05 2}{50.00})^{2} = \frac{0.005}{2500} = 2 \times 1 0^{- 6}$

(2) 積・商・べき乗の誤差

$ρ = \frac{4}{π} m d^{- 2} h^{- 1}$ の両辺の自然対数をとると
$lo g ρ = lo g \frac{4}{π} + lo g m - 2 lo g d - lo g h$
となるので、微小な変化について $\frac{d ρ}{ρ} = \frac{d m}{m} - 2 \frac{d ( d )}{d} - \frac{d h}{h}$ が成り立つ。各誤差は独立なので、相対誤差は
$(\frac{Δ ρ}{ρ})^{2} = (\frac{Δ m}{m})^{2} + (2 \frac{Δ d}{d})^{2} + (\frac{Δ h}{h})^{2}$
で合成される（べき乗 $d^{2}$ の相対誤差は $d$ の相対誤差の $2$ 倍になる）。

各項を計算すると
$2 \frac{Δ d}{d} = 2 \times \frac{0.05}{20.00} = 5 \times 1 0^{- 3}, (2 \frac{Δ d}{d})^{2} = 25 \times 1 0^{- 6}$
$\frac{Δ h}{h} = \frac{0.12}{40.00} = 3 \times 1 0^{- 3}, (\frac{Δ h}{h})^{2} = 9 \times 1 0^{- 6}$

よって
$(\frac{Δ ρ}{ρ})^{2} = (2 + 25 + 9) \times 1 0^{- 6} = 36 \times 1 0^{- 6}$
$\frac{Δ ρ}{ρ} = 6 \times 1 0^{- 3} = 0.6 %$

別解

$ρ = \frac{4 m}{π d ^{2} h}$ は積と冪の形なので、独立な誤差の 1 次の伝播では相対不確かさの 2 乗和になる:
$(\frac{Δ ρ}{ρ})^{2} = (\frac{Δ m}{m})^{2} + (2 \frac{Δ d}{d})^{2} + (\frac{Δ h}{h})^{2} .$

質量: $m = M - M_{0} = 50.00 g$ 。 $M, M_{0}$ は独立なので $Δ m = 0.0 5^{2} + 0.0 5^{2} = 0.05 2 g$ 。 $Δ m / m = 0.05 2 /50 = 0.001 2$ 、その 2 乗は $2 \times 1 0^{- 6}$ 。
直径: $2Δ d / d = 2 \times 0.05/20.00 = 0.005$ 、その 2 乗は $2.5 \times 1 0^{- 5}$ 。
高さ: $Δ h / h = 0.12/40.00 = 0.003$ 、その 2 乗は $9 \times 1 0^{- 6}$ 。

合計: $2 \times 1 0^{- 6} + 25 \times 1 0^{- 6} + 9 \times 1 0^{- 6} = 36 \times 1 0^{- 6}$ 。
$Δ ρ / ρ = 36 \times 1 0^{- 6} = 6 \times 1 0^{- 3} = 0.6%$ 。

検算: 偏微分で直接計算しても同じ。 $\partial ρ / \partial M = ρ / m$ なので $M, M_{0}$ の寄与はそれぞれ $ρ \cdot 0.05/50 = ρ \times 1 0^{- 3}$ で、2 乗和は $2 \times 1 0^{- 6} ρ^{2}$ 。他の項も上と同じ。

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