物理実験・誤差論の問題

鉛直につるした金属の細い針金の下端におもりをつるして伸びを測り、ヤング率 $E$ を
$$E=\frac{4mgL}{\pi d^2(x_2-x_1)}$$
により求める。ここで $m$ はおもりの質量、$g$ は重力加速度、$L$ は針金の長さ、$d$ は針金の直径、$x_1$, $x_2$ はおもりをつるす前と後に読んだ針金下端の目印の位置である。測定の結果は次のとおりである（標準不確かさはすべて互いに独立とする）。

• $L=2.000\mathrm{m}$、標準不確かさ $2.0\mathrm{mm}$
• $x_1=10.00\mathrm{mm}$, $x_2=12.00\mathrm{mm}$。それぞれの読みの標準不確かさは $0.015\mathrm{mm}$
• 直径 $d$ はマイクロメーターで針金の異なる場所を $n$ 回（$n$ は正の整数）独立に測り、その平均値 $\bar{d}$ を $d$ の値とする。$\bar{d}$ の値は $n$ によらず $0.500\mathrm{mm}$ とし、1 回の測定の標準偏差は $0.010\mathrm{mm}$、平均値 $\bar{d}$ の標準不確かさは $0.010/\sqrt{n}\mathrm{mm}$ とする
• $m$ と $g$ の不確かさは無視できる

不確かさの伝播は 1 次の近似（各量の偏微分による線形近似）で扱う。また、与えられた数値は正確な値とみなし、判定の途中で丸めを行わないものとする。$E$ の相対標準不確かさ $u(E)/E$ を $2\%$ 以下にするために必要な測定回数 $n$ の最小値を求めよ。

細い毛細管に水を流し、ポアズイユの法則
$$\eta =\frac{\pi r^4\Delta pt}{8VL}$$
から水の粘性率 $\eta$ を求める。ここで $r$ は毛細管の内半径、$L$ は毛細管の長さ、$V$ は時間 $t$ の間に流れ出た水の体積、$\Delta p$ は管の両端の圧力差である。各量は次のように求める。

• 内半径 $r$: 毛細管に水銀柱を入れ、その質量 $m$ と長さ $\ell$ を測り、$m={\rho }_{\mathrm{Hg}}\pi r^2\ell$ から求める。結果は $m=0.2000\pm 0.0010\mathrm{g}$、$\ell =7.50\pm 0.03\mathrm{cm}$。
• 圧力差 $\Delta p$: 上流側と下流側の水面の高さ $h_1$, $h_2$ を別々に読み取り、$\Delta p={\rho }_{\mathrm{w}}g(h_1-h_2)$ とする。結果は $h_1=25.0\pm 0.1\mathrm{cm}$、$h_2=15.0\pm 0.1\mathrm{cm}$。
• $t=200.0\pm 0.4\mathrm{s}$、$V=1.500\pm 0.006\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$、$L=20.00\pm 0.08\mathrm{cm}$。

$\pm$ の後は標準不確かさであり、$m,\ell ,h_1,h_2,t,V,L$ の誤差はすべて互いに独立な偶然誤差とする。水銀の密度 ${\rho }_{\mathrm{Hg}}$、水の密度 ${\rho }_{\mathrm{w}}$、重力加速度 $g$ の不確かさは無視でき、流れの間 $h_1-h_2$ は一定とみなす。誤差は十分小さく、1 次の誤差伝播の式が使えるとする。

$\eta$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_{\eta }/\eta$ を百分率（$\%$）で、有効数字 2 桁で求めよ。

容積を一定に保った容器に気体を閉じこめ、温度 $t$ を変えながら気体の圧力 $p$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の誤差は無視でき、圧力の測定値の誤差は互いに独立で、どの点でも等しい大きさ（未知）であるとする。この 5 点に直線 $p=a+bt$ を最小二乗法で当てはめる。圧力の誤差の大きさを残差から
$${\sigma }_p^2=\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n(p_i-a-b{t}_i{)}^2(n=5)$$
と推定するとき、傾き $b$ の標準誤差は何 $kPa/{}^{\circ }\mathrm{C}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

一様な金属の円柱の密度 $\rho$ を、次の測定から求める。

• 質量: 天びんで、空の容器の質量 $M_0$ と、容器に円柱を入れたときの質量 $M$ をそれぞれ 1 回ずつ量り、円柱の質量を $m=M-M_0$ とする。結果は $M_0=30.00\mathrm{g}$、$M=80.00\mathrm{g}$ で、どちらの測定値の標準不確かさも $0.05\mathrm{g}$ である。
• 直径: $d=20.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.05\mathrm{mm}$
• 高さ: $h=40.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.12\mathrm{mm}$

密度は $$\rho =\frac{4m}{\pi d^{2}h}$$ で計算する。$M_0,M,d,h$ の誤差は互いに独立（無相関）で、不確かさは測定値に比べて十分小さいので誤差の伝播は 1 次の近似で扱えるものとする。円周率 $\pi$ の誤差は考えない。

このとき、$\rho$ の相対不確かさ $\frac{\Delta \rho }{\rho }$ は何 $\%$ か。正確な値で求めよ。

単振り子の振動を $N$ 回（$N$ は正の整数）数え、その所要時間 $t_N$ を測って周期 $T=t_N/N$ を求め、振り子の長さ $L$ とあわせて重力加速度を $$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$ により求める。測定の条件は次のとおりである。

• 長さ $L$ は最小目盛り $1\mathrm{mm}$ の巻尺で、最も近い目盛りに丸めて読み取り、$L=1.000\mathrm{m}$ を得る。
• 時間 $t_N$ は最小表示 $0.01\mathrm{s}$ のデジタルストップウォッチで測る。ストップウォッチは開始時にちょうど $0$ から計時を始め、表示は真の値を最も近い $0.01\mathrm{s}$ の倍数に丸めたものとする。
• 周期は $N$ によらず $T=2.000\mathrm{s}$ とみなしてよい（$t_N\approx 2N\mathrm{s}$）。

誤差の原因は巻尺とストップウォッチの分解能（読み取りの丸め）だけとし、反応時間の誤差や振幅の影響は考えない。それぞれの丸めの誤差は、幅が最小目盛り（最小表示）に等しい区間の一様分布に従い、互いに独立であるとする。誤差の伝播は 1 次の近似で扱い、$\pi$ には誤差がないものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ を $5.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要な $N$ の最小値を求めよ。