偏微分による一般の誤差伝播則

一般の関数 $q = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ について、偏微分係数を使った 1 次の誤差伝播則 $u (q)^{2} = \sum (\frac{\partial f}{\partial x _{i}})^{2} u (x_{i})^{2}$ で不確かさを求められる（差を含む式など、積・商の形に分けられない場合も含む）

前提

積・商・べき乗の相対誤差（大学物理物理実験・誤差論）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
標本平均の分布（数学B 統計的な推測）
不偏推定量（大学数学確率・統計）
平均値・標準偏差・平均の標準誤差（大学物理物理実験・誤差論）
和と差の誤差伝播（大学物理物理実験・誤差論）
対数微分法（数学III 微分法）
積・商・べき乗の相対誤差（大学物理物理実験・誤差論）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

説明

測定値 $x_{1}, \dots, x_{n}$ から任意の式 $q = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ で量を計算するとき、その不確かさ $u (q)$ を偏微分係数を使って求められるようになります。和・差や積・商・べき乗の公式は、この一般的な規則の特別な場合です。レンズの式 $f = \frac{ab}{a + b}$ のように同じ測定値が分子と分母の両方に現れる式や、 $sin θ$ ・ $e^{x}$ を含む式など、積・商の形に分けられない場合にも使えます。

なぜそうしてよいのか

測定値 $x_{i}$ が真の値から小さく $δ x_{i}$ だけずれたとき、 $q$ のずれは全微分の考え方で 1 次まで
$δ q \approx \frac{\partial f}{\partial x _{1}} δ x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x _{2}} δ x_{2} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x _{n}} δ x_{n}$
と近似できます。偏微分係数は測定値の位置で計算した「ただの数」なので、右辺は独立なずれ $δ x_{i}$ の定数倍の和です。

すると和と差の誤差伝播 $u (a x + b y) = a^{2} u (x)^{2} + b^{2} u (y)^{2}$ がそのまま使え、係数 $a, b$ の代わりに偏微分係数が入って
$u (q)^{2} = i = 1 \sum n (\frac{\partial f}{\partial x _{i}})^{2} u (x_{i})^{2}$
となります。たとえば $f = x^{a} y^{b}$ なら $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{a f}{x}$ 、 $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{b f}{y}$ なので両辺を $f^{2}$ で割ると積・商・べき乗の相対誤差の式に戻り、 $f = a x + b y$ なら和と差の式に戻ります。

この規則が成り立つのは、(1) 各 $x_{i}$ が互いに独立で、(2) 不確かさが小さく 1 次の近似が十分よい（ $f$ がその範囲でほぼ平らな面とみなせる）ときです。同じ測定値が式の何か所に現れても、偏微分ではその変数についてまとめて微分するので、相関を気にせず正しく扱えます。

手順

求める量を測定値の関数 $q = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ として書き、どれが独立な測定値かを確認する
各測定値について偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x _{i}}$ を求める（同じ変数が複数か所に現れても、まとめて微分する）
偏導関数に測定値を代入して、数値（感度係数）にする
各項 $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} u (x_{i})$ を計算する
2 乗して足し、平方根をとる: $u (q) = \sum (\frac{\partial f}{\partial x _{i}})^{2} u (x_{i})^{2}$

例題

薄いレンズの物体距離 $a$ と像距離 $b$ を測り、焦点距離を $f = \frac{ab}{a + b}$ で求める。測定値は $a = 20.0 cm$ （標準不確かさ $u (a) = 0.1 cm$ ）、 $b = 30.0 cm$ （標準不確かさ $u (b) = 0.3 cm$ ）で、 $a$ と $b$ は独立とする。1 次の誤差伝播則を用いて、 $f$ の標準不確かさ $u (f)$ は何 cm か求めよ。正確な値で答えよ。

例題の解答

手順 1: $f (a, b) = \frac{ab}{a + b}$ 。 $a, b$ が独立な測定値で、どちらも分子と分母の両方に現れるので、積・商の公式は使えない。

手順 2: 商の微分より
$\frac{\partial f}{\partial a} = \frac{b ( a + b ) - ab}{( a + b ) ^{2}} = \frac{b ^{2}}{( a + b ) ^{2}}, \frac{\partial f}{\partial b} = \frac{a ^{2}}{( a + b ) ^{2}}$

手順 3: $a = 20.0, b = 30.0, a + b = 50.0$ を代入すると $\frac{\partial f}{\partial a} = \frac{900}{2500} = 0.36$ 、 $\frac{\partial f}{\partial b} = \frac{400}{2500} = 0.16$ 。

手順 4: $\frac{\partial f}{\partial a} u (a) = 0.36 \times 0.1 = 0.036$ 、 $\frac{\partial f}{\partial b} u (b) = 0.16 \times 0.3 = 0.048$ （単位 cm）。

手順 5: $u (f) = 0.03 6^{2} + 0.04 8^{2} = 0.001296 + 0.002304 = 0.0036 = 0.06$
なお $f = \frac{600}{50} = 12.0 cm$ である。

答え: $0.06$

よくある誤り

分子 $ab$ と分母 $a + b$ を独立な量とみなして積・商の公式を当てはめ、 $\frac{u ( f )}{f} = (\frac{u ( ab )}{ab})^{2} + (\frac{u ( a + b )}{a + b})^{2}$ としてしまう誤り。分子と分母は同じ $a, b$ を含み独立でないので不確かさを過大に見積もる。正しくは $f$ を $a, b$ で直接偏微分し、 $u (f)^{2} = (\frac{\partial f}{\partial a})^{2} u (a)^{2} + (\frac{\partial f}{\partial b})^{2} u (b)^{2}$
2 乗せずに足して $u (q) = \frac{\partial f}{\partial x} u (x) + \frac{\partial f}{\partial y} u (y)$ としてしまう誤り（例題なら $0.084$ ）。独立な測定値なら正しくは $0.03 6^{2} + 0.04 8^{2} = 0.06$
角度を度のまま微分してしまう誤り。たとえば $q = sin θ$ で $u (q) = ∣ cos θ ∣ u (θ)$ を使うとき、 $u (θ) = 0. 5^{\circ}$ をそのまま入れるのは誤りで、正しくは弧度法に直して $u (θ) = 0.5 \times \frac{π}{180} rad$ を使う（ $\frac{d}{d θ} sin θ = cos θ$ は弧度法でのみ成り立つ）
偏導関数を求めたあと、測定値を代入せずに文字のまま、あるいは別の点（真の値がわからないからと 0 など）で評価してしまう誤り。感度係数は測定値（最良推定値）の位置で計算する。例題なら $a = 20.0, b = 30.0$ を代入して $\frac{\partial f}{\partial a} = 0.36$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
凸レンズの焦点距離 $f$ を、物体からレンズまでの距離 $a$ とレンズから像までの距離 $b$ を測定して、レンズの式から得られる
$f = \frac{ab}{a + b}$
で求める。測定結果は $a = 30.0 cm$ （標準不確かさ $u (a) = 0.3 cm$ ）、 $b = 60.0 cm$ （標準不確かさ $u (b) = 0.9 cm$ ）であった。 $a$ と $b$ の測定は互いに独立とする。
1 次の誤差伝播則
$u (f)^{2} = (\frac{\partial f}{\partial a})^{2} u (a)^{2} + (\frac{\partial f}{\partial b})^{2} u (b)^{2}$
（偏微分係数は測定値での値を用いる）により、 $f$ の標準不確かさ $u (f)$ は何 cm か。分数で答えよ。

この技能を使う問題

$ν [1 0^{14} Hz]$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$V [V]$	$0.41$	$0.78$	$1.20$	$1.62$	$1.99$

この技能の次に学べること

フィットによる推定値の誤差と相関（大学物理物理実験・誤差論）