物理実験・誤差論の問題

ある抵抗器の抵抗値を 3 つの研究室が独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\Omega$）。

• 研究室 1: $x_1=10.0$、標準不確かさ ${\sigma }_1=0.2$
• 研究室 2: $x_2=10.4$、標準不確かさ ${\sigma }_2=0.2$
• 研究室 3: $x_3=10.8$、標準不確かさ ${\sigma }_3=0.2$

これらの重み付き平均を $\bar{x}$ とし（重みは $w_i=1/{\sigma }_i^2$）、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算する。自由度は、測定の数から推定したパラメータの数（平均値の 1 個）を引いた $\nu =3-1=2$ とする。

${\chi }^2/\nu$ の値を求めよ。

単振り子の長さ $L$ と周期 $T$ を測定し、重力加速度を
$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$
で求める。$L$ の相対標準不確かさは $\frac{u(L)}{L}=0.3\%$、$T$ の相対標準不確かさは $\frac{u(T)}{T}=0.2\%$ であった。$L$ と $T$ の測定は互いに独立で、$4{\pi }^2$ は誤差を含まない定数とする。

独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して、$q=C{x}^a{y}^b$（$C$ は定数）の相対標準不確かさは
$$\frac{u(q)}{q}=\sqrt{a^2{\left(\frac{u(x)}{x}\right)}^2+b^2{\left(\frac{u(y)}{y}\right)}^2}$$
で与えられるものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ は何 % か。小数で答えよ。

時刻 $x=1,2,3,4,5\text{s}$ の $5$ 点で物体の位置 $y$（単位 cm）を測定し、最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめた。残差から推定した $y$ の測定誤差の大きさは $\sigma =0.20\text{cm}$ であった。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差は各点で独立で等しい大きさとする。

この直線を使って、時刻 $x_0=7\text{s}$ での位置を $\hat{y}=a+b{x}_0$ と推定する。傾きと切片の共分散 $\mathrm{Cov}(a,b)=-\frac{\bar{x}{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ を含めて計算すると、$\hat{y}$ の標準誤差は
$${\sigma }_{\hat{y}}=\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$$
で与えられる（$n$ はデータの数、$\bar{x}$ は $x_i$ の平均）。

${\sigma }_{\hat{y}}$ は何 cm か。根号を用いた正確な値で答えよ。

ある地点の重力加速度 $g$ を、3 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$g_1=9.800\pm 0.010,g_2=9.830\pm 0.020,g_3=9.770\pm 0.020$$
これらを次の手順でまとめる。

1. 重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $g_i$ の標準不確かさ）を用いた重み付き平均 $\bar{g}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{g}}={\left({\sum }_i{w}_i\right)}^{-1/2}$ を求める。
2. カイ二乗 $${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(g_i-\bar{g}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$ を計算する。データの個数を $N=3$ として、${\chi }^2/(N-1)>1$ ならば、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{g}}$ に $\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ を掛けたものを最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/(N-1)\le 1$ ならば ${\sigma }_{\bar{g}}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる最終的な標準不確かさを、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、根号を用いた正確な値で求めよ。

ビーカーに入れた水の質量を求めるため、空のビーカーの質量 $x$ と、水を入れたビーカーの質量 $y$ を別々にはかった。結果は次のとおりであった。

• 空のビーカー: $x=48.2\text{g}$、標準不確かさ $u(x)=0.3\text{g}$
• 水を入れたビーカー: $y=152.6\text{g}$、標準不確かさ $u(y)=0.4\text{g}$

水の質量を $m=y-x$ で求める。$x$ と $y$ の測定は互いに独立であるとし、独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して $q=ax+by$ の標準不確かさは $u(q)=\sqrt{a^{2}u(x{)}^2+b^{2}u(y{)}^2}$ で与えられるものとする。

水の質量 $m$ の標準不確かさ $u(m)$ は何 g か。小数で答えよ。