測定値の組を合わせた平均と標準偏差

回数・平均・標準偏差（ $n - 1$ で割る定義）が報告された複数の測定の組を 1 つのデータにまとめ、全体の平均・標準偏差・平均の標準誤差を求められる

前提

平均値・標準偏差・平均の標準誤差（大学物理物理実験・誤差論）
グループを合わせたデータの平均・分散（数学I データの分析）

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算数中学高校大学大学院

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共分散と相関係数（数学I データの分析）
確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）
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正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
標本平均の分布（数学B 統計的な推測）
不偏推定量（大学数学確率・統計）
平均値・標準偏差・平均の標準誤差（大学物理物理実験・誤差論）
グループを合わせたデータの平均・分散（数学I データの分析）

説明

同じ量を別の日や別の人が測り、それぞれ「回数 $n_{j}$ ・平均 $x ˉ_{j}$ ・標準偏差 $s_{j}$ （ $n - 1$ で割る定義）」だけが報告されていることがよくあります。この技能では、元の測定値が手元になくても、これらの要約値だけから、すべての測定を 1 つにまとめたときの平均 $x ˉ$ 、標準偏差 $s$ 、平均の標準誤差 $s / N$ を正確に求めます。複数の実験データを合算して結果を報告するときに使います。

なぜそうしてよいのか

全体の標準偏差を求めるには、全体の平均 $x ˉ$ からの偏差の 2 乗和 $S = \sum (x - x ˉ)^{2}$ がわかれば十分です。 $s_{j}$ の定義から、グループ $j$ の中での 2 乗和は $\sum_{グループ j} (x - x ˉ_{j})^{2} = (n_{j} - 1) s_{j}^{2}$ と元に戻せます。

グループ $j$ の値について $x - x ˉ = (x - x ˉ_{j}) + (x ˉ_{j} - x ˉ)$ と分けて 2 乗し、グループ内で足すと
$\sum (x - x ˉ)^{2} = \sum (x - x ˉ_{j})^{2} + 2 (x ˉ_{j} - x ˉ) \sum (x - x ˉ_{j}) + n_{j} (x ˉ_{j} - x ˉ)^{2}$
です。グループ内の偏差の和 $\sum (x - x ˉ_{j})$ は平均の定義から $0$ なので、真ん中の項は消えます。これをすべてのグループで足すと
$S = j \sum (n_{j} - 1) s_{j}^{2} + j \sum n_{j} (x ˉ_{j} - x ˉ)^{2}$
となります。第 1 項は「各グループの中のばらつき」、第 2 項は「グループの平均どうしのずれ」によるばらつきです。グループの平均がずれていると、全体のばらつきはそれぞれのグループより大きくなります。

全体の個数を $N = \sum n_{j}$ 、全体の平均を $x ˉ = \frac{\sum n _{j} x ˉ _{j}}{N}$ （個数で重みをつけた平均）とすれば、全体の標本標準偏差は $s = \frac{S}{N - 1}$ 、平均の標準誤差は $\frac{s}{N}$ です。なお、 $\sum x^{2} = (n_{j} - 1) s_{j}^{2} + n_{j} x ˉ_{j}^{2}$ を使って各グループの $\sum x^{2}$ を復元し、 $x^{2} - (x ˉ)^{2}$ の考え方で計算しても同じ結果になります。

手順

全体の個数 $N = \sum_{j} n_{j}$ と全体の平均 $x ˉ = \frac{\sum _{j} n _{j} x ˉ _{j}}{N}$ を求める
各グループの中の 2 乗和を $(n_{j} - 1) s_{j}^{2}$ として戻す
グループの平均どうしのずれの寄与 $n_{j} (x ˉ_{j} - x ˉ)^{2}$ を求め、全体の 2 乗和 $S = \sum_{j} (n_{j} - 1) s_{j}^{2} + \sum_{j} n_{j} (x ˉ_{j} - x ˉ)^{2}$ を計算する
全体の標本標準偏差 $s = \frac{S}{N - 1}$ を求める
必要なら平均の標準誤差 $\frac{s}{N}$ を求める

例題

ある長さを 2 つの組に分けて測定した。組 A は 5 回で平均 $10.0 mm$ ・標準偏差 $1.0 mm$ 、組 B は 5 回で平均 $12.0 mm$ ・標準偏差 $1.0 mm$ であった（標準偏差はいずれも $n - 1$ で割る定義）。10 回の測定をまとめたときの標本標準偏差（ $N - 1$ で割る定義）は何 mm か。根号を使った正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1： $N = 5 + 5 = 10$ 、 $x ˉ = \frac{5 \times 10.0 + 5 \times 12.0}{10} = 11.0$ 。

手順 2：各組の中の 2 乗和は $(5 - 1) \times 1. 0^{2} = 4$ ずつで、合計 $8$ 。

手順 3：平均のずれの寄与は $5 \times (10.0 - 11.0)^{2} + 5 \times (12.0 - 11.0)^{2} = 5 + 5 = 10$ 。よって
$S = 8 + 10 = 18$

手順 4： $s = \frac{18}{10 - 1} = 2 \approx 1.41 mm$ 。

（手順 5：平均の標準誤差は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5} \approx 0.45 mm$ 。）

よって $2 mm$ 。各組の標準偏差 $1.0$ より大きいのは、組の平均が $2.0 mm$ ずれているためである。

答え: $2$

よくある誤り

各組の標準偏差を平均して全体の標準偏差としてしまう誤り（上の例で $\frac{1.0 + 1.0}{2} = 1.0$ ）。正しくは組の平均どうしのずれの寄与 $\sum n_{j} (x ˉ_{j} - x ˉ)^{2}$ も加えて $S = 18$ 、 $s = 2$
各組の 2 乗和を $n_{j} s_{j}^{2}$ と戻してしまう誤り。 $s_{j}$ は $n_{j} - 1$ で割って定義されているので、正しくは $(n_{j} - 1) s_{j}^{2}$ （上の例で $5$ ではなく $4$ ）
まとめた 2 乗和を $N$ や $N - 2$ （グループの数だけ引く）で割ってしまう誤り。全体を 1 つのデータとみなした標本標準偏差なので、正しくは $s = \frac{S}{N - 1}$
回数の違う組の平均を単純平均してしまう誤り。例えば $n_{1} = 2, x ˉ_{1} = 10$ と $n_{2} = 8, x ˉ_{2} = 15$ で $\frac{10 + 15}{2} = 12.5$ とする。正しくは個数で重みをつけて $x ˉ = \frac{2 \times 10 + 8 \times 15}{10} = 14$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
同じ量を 2 つの班 A, B がそれぞれ繰り返し測定し、次のように報告した（単位は mm）。
- 班 A: 測定回数 $5$ 、平均値 $10$ 、標準偏差 $2$
- 班 B: 測定回数 $5$ 、平均値 $14$ 、標準偏差 $2$
ここで標準偏差は、測定回数を $n$ 、測定値を $x_{i}$ 、平均値を $x ˉ$ として $s = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (x_{i} - x ˉ)^{2}$ で定めたものである。
2 つの班の測定値をすべて合わせて $10$ 個のデータとみなしたとき、その標準偏差（同じく $n - 1$ で割る定義）は何 mm か。根号を用いた正確な値で答えよ。

測定値の組を合わせた平均と標準偏差

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題