物理実験・誤差論の問題

ある地点の重力加速度 $g$ を、3 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$g_1=9.800\pm 0.010,g_2=9.830\pm 0.020,g_3=9.770\pm 0.020$$
これらを次の手順でまとめる。

1. 重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $g_i$ の標準不確かさ）を用いた重み付き平均 $\bar{g}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{g}}={\left({\sum }_i{w}_i\right)}^{-1/2}$ を求める。
2. カイ二乗 $${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(g_i-\bar{g}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$ を計算する。データの個数を $N=3$ として、${\chi }^2/(N-1)>1$ ならば、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{g}}$ に $\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ を掛けたものを最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/(N-1)\le 1$ ならば ${\sigma }_{\bar{g}}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる最終的な標準不確かさを、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、根号を用いた正確な値で求めよ。

つるまきばねの上端を固定し、下端に同じおもりを $x$ 個（$x=1,2,3,4,5$）つるしたときのばねの全長 $L$ を測定したところ、次の結果が得られた。

ばねはおもりが $8$ 個までの範囲でフックの法則に従い、$L$ は $x$ の 1 次式 $L=a+bx$ で表されるとする。$x$ の値には誤差がなく、各測定値 $L_i$（$i=1,2,\dots ,5$）は互いに独立で、同じ標準偏差 $\sigma$ の偶然誤差のみを含むとする。

$a,b$ を最小二乗法で求め、$\sigma$ を残差 $r_i=L_i-(a+b{x}_i)$ を用いて
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2}(n=5)$$
で推定する。このとき、おもりを $8$ 個つるしたときの全長の推定値 $\hat{L}=a+8b$ と、その標準誤差 ${\sigma }_{\hat{L}}$（$a$ と $b$ の誤差の相関も含めて誤差伝播で求めたもの）を、この順に組 $(\hat{L},{\sigma }_{\hat{L}})$ として、単位を $\mathrm{mm}$ として正確な値で求めよ。

ある共振器の共振周波数 $f$ を、4 つの研究グループが互いに独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\mathrm{Hz}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=2500\pm 1,f_2=2504\pm 2,f_3=2498\pm 2,f_4=2502\pm 1$$
各測定値の誤差は互いに独立で正規分布に従うとし、これらを重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $f_i$ の標準不確かさ）で重み付き平均して
$$\bar{f}=\frac{{\sum }_{i=1}^4{w}_i{f}_i}{{\sum }_{i=1}^4{w}_i},{\sigma }_{\bar{f}}={\left(\sum _{i=1}^4{w}_i\right)}^{-1/2}$$
を求める。さらに、測定値どうしの食い違いを評価するため
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4\frac{(f_i-\bar{f}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算し、${\chi }^2/(N-1)$（$N=4$）が $1$ より大きい場合には、不確かさを拡大因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ 倍して、最終的な不確かさを ${\sigma }^{\prime }=S{\sigma }_{\bar{f}}$ とする（$1$ 以下の場合は ${\sigma }^{\prime }={\sigma }_{\bar{f}}$ とする）。

この手順で得られる最終的な不確かさ ${\sigma }^{\prime }$ を、単位 $\mathrm{Hz}$ で、根号を含む正確な値で求めよ。

鉛直につるした金属の細い針金の下端におもりをつるして伸びを測り、ヤング率 $E$ を
$$E=\frac{4mgL}{\pi d^2(x_2-x_1)}$$
により求める。ここで $m$ はおもりの質量、$g$ は重力加速度、$L$ は針金の長さ、$d$ は針金の直径、$x_1$, $x_2$ はおもりをつるす前と後に読んだ針金下端の目印の位置である。測定の結果は次のとおりである（標準不確かさはすべて互いに独立とする）。

• $L=2.000\mathrm{m}$、標準不確かさ $2.0\mathrm{mm}$
• $x_1=10.00\mathrm{mm}$, $x_2=12.00\mathrm{mm}$。それぞれの読みの標準不確かさは $0.015\mathrm{mm}$
• 直径 $d$ はマイクロメーターで針金の異なる場所を $n$ 回（$n$ は正の整数）独立に測り、その平均値 $\bar{d}$ を $d$ の値とする。$\bar{d}$ の値は $n$ によらず $0.500\mathrm{mm}$ とし、1 回の測定の標準偏差は $0.010\mathrm{mm}$、平均値 $\bar{d}$ の標準不確かさは $0.010/\sqrt{n}\mathrm{mm}$ とする
• $m$ と $g$ の不確かさは無視できる

不確かさの伝播は 1 次の近似（各量の偏微分による線形近似）で扱う。また、与えられた数値は正確な値とみなし、判定の途中で丸めを行わないものとする。$E$ の相対標準不確かさ $u(E)/E$ を $2\%$ 以下にするために必要な測定回数 $n$ の最小値を求めよ。

ある金属片の長さを、同じ条件のもとでノギスで $n=10$ 回測定した。記録した 10 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ から計算した結果は、平均値 $\bar{x}=50.00\mathrm{mm}$、標準偏差 $s=0.30\mathrm{mm}$ であった。ここで標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定める。

のちに記録を見直したところ、10 個の測定値のうち 1 つは、実際の読みが $50.10\mathrm{mm}$ であったのに、誤って $50.40\mathrm{mm}$ と記録していたことがわかった。ほかの 9 個の値は正しく記録されていた。

この 1 つの値を $50.10\mathrm{mm}$ に直した 10 個の正しい測定値について、平均の標準誤差 $s/\sqrt{n}$ を求めると何 $\mathrm{mm}$ になるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、与えられた $\bar{x}$ と $s$ の値は丸めのない正確な値とみなす。