カイ二乗と測定結果の整合性

ある抵抗器の抵抗値を 3 つの研究室が独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\Omega$）。

• 研究室 1: $x_1=10.0$、標準不確かさ ${\sigma }_1=0.2$
• 研究室 2: $x_2=10.4$、標準不確かさ ${\sigma }_2=0.2$
• 研究室 3: $x_3=10.8$、標準不確かさ ${\sigma }_3=0.2$

これらの重み付き平均を $\bar{x}$ とし（重みは $w_i=1/{\sigma }_i^2$）、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算する。自由度は、測定の数から推定したパラメータの数（平均値の 1 個）を引いた $\nu =3-1=2$ とする。

${\chi }^2/\nu$ の値を求めよ。

ある標準抵抗器の抵抗値 $R$ を、3 つの研究室がそれぞれ独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\Omega$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$R_1=100.0\pm 0.2,R_2=100.6\pm 0.4,R_3=99.4\pm 0.4$$
各結果の誤差は偶然誤差のみで、互いに独立とする。標準不確かさ ${\sigma }_i$ に対して重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$ をとった重み付き平均値 $\bar{R}$ と、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(R_i-\bar{R}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
で定義されるカイ二乗の値を求め、$(\bar{R},{\chi }^2)$ の組として答えよ。ただし $\bar{R}$ は $\Omega$ 単位の値で、どちらも正確な値（分数で表せるものは分数）で答えること。

ある凸レンズの焦点距離 $f$ を、4 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $\mathrm{cm}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=20.02\pm 0.10,f_2=19.90\pm 0.20,f_3=20.10\pm 0.20,f_4=19.98\pm 0.10$$
各結果の誤差は互いに独立な正規分布に従い、偶然誤差のみを含むものとする。4 つの結果を各標準不確かさ ${\sigma }_i$ の 2 乗の逆数 $w_i=1/{\sigma }_i^2$ を重みとして重み付き平均した値を $\bar{f}$ とするとき、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4{\left(\frac{f_i-\bar{f}}{{\sigma }_i}\right)}^2$$
の値を求めよ。答えは正確な値（小数または分数）で答えよ。

ある地点の重力加速度 $g$ を、3 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$g_1=9.800\pm 0.010,g_2=9.830\pm 0.020,g_3=9.770\pm 0.020$$
これらを次の手順でまとめる。

1. 重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $g_i$ の標準不確かさ）を用いた重み付き平均 $\bar{g}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{g}}={\left({\sum }_i{w}_i\right)}^{-1/2}$ を求める。
2. カイ二乗 $${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(g_i-\bar{g}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$ を計算する。データの個数を $N=3$ として、${\chi }^2/(N-1)>1$ ならば、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{g}}$ に $\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ を掛けたものを最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/(N-1)\le 1$ ならば ${\sigma }_{\bar{g}}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる最終的な標準不確かさを、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、根号を用いた正確な値で求めよ。

ある共振器の共振周波数 $f$ を、4 つの研究グループが互いに独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\mathrm{Hz}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=2500\pm 1,f_2=2504\pm 2,f_3=2498\pm 2,f_4=2502\pm 1$$
各測定値の誤差は互いに独立で正規分布に従うとし、これらを重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $f_i$ の標準不確かさ）で重み付き平均して
$$\bar{f}=\frac{{\sum }_{i=1}^4{w}_i{f}_i}{{\sum }_{i=1}^4{w}_i},{\sigma }_{\bar{f}}={\left(\sum _{i=1}^4{w}_i\right)}^{-1/2}$$
を求める。さらに、測定値どうしの食い違いを評価するため
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4\frac{(f_i-\bar{f}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算し、${\chi }^2/(N-1)$（$N=4$）が $1$ より大きい場合には、不確かさを拡大因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ 倍して、最終的な不確かさを ${\sigma }^{\prime }=S{\sigma }_{\bar{f}}$ とする（$1$ 以下の場合は ${\sigma }^{\prime }={\sigma }_{\bar{f}}$ とする）。

この手順で得られる最終的な不確かさ ${\sigma }^{\prime }$ を、単位 $\mathrm{Hz}$ で、根号を含む正確な値で求めよ。

ある励起状態の寿命 $\tau$ について、3 つの独立な実験から次の結果が得られた（単位は $\text{ns}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$${\tau }_1=19\pm 1,{\tau }_2=28\pm 2,{\tau }_3=16\pm 2$$
それぞれの測定値は真の値 $\tau$ のまわりに、与えられた標準不確かさ ${\sigma }_i$ を標準偏差とする正規分布に従うと仮定し、次の手順で 3 つの結果を 1 つにまとめる。

$(1)$ 重み $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$ による重み付き平均 $\bar{\tau }=\frac{{\sum }_i{w}_i{\tau }_i}{{\sum }_i{w}_i}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{\tau }}=\frac{1}{\sqrt{{\sum }_i{w}_i}}$ を求める。

$(2)$ ${\chi }^2=\sum _i\frac{({\tau }_i-\bar{\tau }{)}^2}{{\sigma }_i^2}$ を計算し、自由度を $\nu =N-1$（$N=3$ はデータの個数）とする。${\chi }^2/\nu >1$ のときは、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{\tau }}$ に尺度因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/\nu }$ を掛けたもの $S{\sigma }_{\bar{\tau }}$ を最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/\nu \le 1$ のときは ${\sigma }_{\bar{\tau }}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる重み付き平均 $\bar{\tau }$ と最終的な標準不確かさを、$\text{ns}$ 単位の正確な値で、この順に組 $(\bar{\tau },\text{最終的な標準不確かさ})$ として求めよ。