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確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$f (x) = {2 e^{- 2 x} 0 (x \geq 0) (x < 0)$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$a_{n} = E [n sin \frac{X ^{2}}{n}]$
とおく。極限 $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ。

この問題で使うもの

測度論的な期待値と収束定理（説明と入口の問題）
単調収束定理・優収束定理（説明と入口の問題）
$sin x / x$ の極限（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

期待値を確率測度による積分とみて、優収束定理で極限と期待値を入れかえることを考えましょう。

ヒント 2

各 $ω$ で $n sin (X^{2} / n)$ の極限を $lim_{u \to 0} \frac{s i n u}{u} = 1$ で求め、不等式 $∣ sin u ∣ \leq ∣ u ∣$ から $n$ によらない優関数を見つけましょう。

ヒント 3

$n sin (X^{2} / n) \to X^{2}$ かつ $∣ n sin (X^{2} / n) ∣ \leq X^{2}$ なので、残りは $E [X^{2}] = \int_{0}^{\infty} x^{2} \cdot 2 e^{- 2 x} d x$ が有限であることを部分積分で確かめ、その値を計算するだけです。

答えと解説

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\frac{1}{2}

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解説を読む

方針. 期待値を確率測度 $P$ による積分 $a_{n} = \int_{Ω} n sin \frac{X ( ω ) ^{2}}{n} d P (ω)$ とみて、優収束定理で極限と積分（期待値）を交換します。

手順 1：各点収束. $Y_{n} = n sin \frac{X ^{2}}{n}$ とおきます。 $X (ω) = 0$ のときは $Y_{n} (ω) = 0 = X (ω)^{2}$ です。 $X (ω) \neq = 0$ のとき、 $t = X (ω)^{2} > 0$ とおくと
$Y_{n} (ω) = t \cdot \frac{sin ( t / n )}{t / n} ⟶ t \cdot 1 = t (n \to \infty)$
です（ $t / n \to 0$ と $lim_{u \to 0} \frac{s i n u}{u} = 1$ による）。よってすべての $ω$ で $Y_{n} (ω) \to X (ω)^{2}$ です。

手順 2：優関数. すべての実数 $u$ について $∣ sin u ∣ \leq ∣ u ∣$ なので
$∣ Y_{n} ∣ = n sin \frac{X ^{2}}{n} \leq n \cdot \frac{X ^{2}}{n} = X^{2} (すべての n) .$
$X^{2}$ は $n$ によらない関数です。

手順 3：優関数の可積分性. 期待値を密度関数による積分で計算します。部分積分を 2 回使うと
$E [X^{2}] = \int_{0}^{\infty} x^{2} \cdot 2 e^{- 2 x} d x = [- x^{2} e^{- 2 x}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2 x e^{- 2 x} d x = 0 + [- x e^{- 2 x}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x = \frac{1}{2} .$
（ $x^{2} e^{- 2 x} \to 0$ , $x e^{- 2 x} \to 0$ $(x \to \infty)$ を用いた。）よって $E [X^{2}] = \frac{1}{2} < \infty$ で、 $X^{2}$ は可積分です。

手順 4：優収束定理. $Y_{n} \to X^{2}$ （各点）、 $∣ Y_{n} ∣ \leq X^{2}$ 、 $E [X^{2}] < \infty$ が確かめられたので、優収束定理により極限と期待値を交換できて
$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim E [Y_{n}] = E [n \to \infty lim Y_{n}] = E [X^{2}] = \frac{1}{2} .$

答え： $\frac{1}{2}$

別解

$∣ n sin (X^{2} / n) ∣ \leq X^{2}$ であり、 $E [X^{2}] < \infty$ である。また $n \to \infty$ のとき $n sin (X^{2} / n) \to X^{2}$ が各点で成り立つ。したがって優収束定理より $lim a_{n} = E [X^{2}]$ 。

指数分布の母数は $λ = 2$ で、 $E [X^{2}] = 2/ λ^{2} = 2/4 = 1/2$ 。

検算: $\int_{0}^{\infty} x^{2} \cdot 2 e^{- 2 x} d x = 2 \cdot Γ (3) / 2^{3} = 2 \cdot 2/8 = 1/2$ 。よって極限は $1/2$ 。

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