確率論の問題

積率母関数 $M_Y(t)=E[e^{tY}]$ を使って $S$ の分布を決める。

$X_k$ の積率母関数. $t<2$ のとき
$$M_X(t)={\int }_0^{\infty }{e}^{tx}\cdot 2e^{-2x}dx=\frac{2}{2-t}.$$

$S$ の積率母関数. $N$ と $X_k$ たちが独立なので、$N=n$ で条件付けると
$$E\left[e^{tS}\mid N=n\right]=M_X(t{)}^n.$$
よって $s=M_X(t)$ とおくと、$\frac{2}{3}s<1$ となる $t$（すなわち $t<\frac{2}{3}$）で
$$M_S(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}{s}^n=\frac{\frac{1}{3}s}{1-\frac{2}{3}s}.$$
$s=\frac{2}{2-t}$ を代入して分母・分子に $2-t$ を掛けると
$$M_S(t)=\frac{\frac{2}{3}}{(2-t)-\frac{4}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-t}\left(t<\frac{2}{3}\right).$$

分布の決定. これはパラメータ $\frac{2}{3}$ の指数分布の積率母関数である。積率母関数が $0$ を含む開区間で一致すれば分布は一致するので、$S$ はパラメータ $\frac{2}{3}$ の指数分布に従う。

したがって
$$P(S>3)=e^{-\frac{2}{3}\cdot 3}=e^{-2}.$$

$N$ は成功確率 $p=\frac{1}{3}$ の幾何分布、$X_k\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$（$\lambda =2$）。$S$ のラプラス変換（積率母関数）を計算する。$E[e^{-sX}]=\frac{\lambda }{\lambda +s}=:\varphi$ とおくと\n$E[e^{-sS}]={\sum }_{n\ge 1}p(1-p{)}^{n-1}{\varphi }^n=\frac{p\varphi }{1-(1-p)\varphi }=\frac{p\lambda }{(\lambda +s)-(1-p)\lambda }=\frac{p\lambda }{p\lambda +s}$。\nこれはパラメータ $p\lambda =\frac{2}{3}$ の指数分布のラプラス変換なので $S\sim \mathrm{Exp}(2/3)$。\nよって $P(S>3)=e^{-\frac{2}{3}\cdot 3}=e^{-2}$。\n検算: 直接計算 $P(S>t)={\sum }_{n\ge 1}p(1-p{)}^{n-1}P(\Gamma (n,\lambda )>t)$。$t$ で微分した密度は ${\sum }_{n}p(1-p{)}^{n-1}\frac{{\lambda }^n{t}^{n-1}{e}^{-\lambda t}}{(n-1)!}=p\lambda e^{-\lambda t}{e}^{(1-p)\lambda t}=p\lambda e^{-p\lambda t}$ となり一致する。$E[S]=E[N]E[X]=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2/3}$ とも整合。