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確率論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学確率論

$X_{1}, X_{2}, \dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{- x}$ $(x > 0)$ ）に従うものとする。正の整数 $n$ に対して
$A_{n} = k = 1 \sum n (X_{k} - 1), B_{n} = k = 1 \sum n (X_{k}^{2} - 2)$
とおく。極限
$n \to \infty lim P (A_{n} > 0 かつ B_{n} > 0)$
を求めよ。

この問題で使うもの

中心極限定理の使い方（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）
同時分布・周辺分布と独立性（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（93 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$(X_{k} - 1, X_{k}^{2} - 2)$ を 2 次元の確率ベクトルとみて、多次元中心極限定理で $\frac{1}{n} (A_{n}, B_{n})$ の極限分布を求めよう。

ヒント 2

指数分布のモーメント $E [X^{k}] = k!$ から共分散行列 $(14420)$ が得られる。相関 $ρ$ の標準 2 変量正規分布の象限確率は $\frac{1}{4} + \frac{a r c s i n ρ}{2 π}$ 。

ヒント 3

極限の相関係数は $ρ = \frac{2}{5}$ 。あとは $arcsin \frac{2}{5}$ を簡単な形に直す。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{4} + \frac{arctan 2}{2 π}

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解説を読む

モーメント. $X \sim$ 平均 $1$ の指数分布なら $E [X^{k}] = k!$ なので
$E [X] = 1, E [X^{2}] = 2, E [X^{3}] = 6, E [X^{4}] = 24.$
よって $Y_{k} = (X_{k} - 1, X_{k}^{2} - 2)$ は平均 $0$ の独立同分布な $R^{2}$ 値確率ベクトルで、その共分散行列の成分は
$V (X) = 2 - 1 = 1, V (X^{2}) = 24 - 4 = 20, Cov (X, X^{2}) = E [X^{3}] - E [X] E [X^{2}] = 6 - 2 = 4.$

多次元中心極限定理. 2 次モーメントが有限なので、多次元中心極限定理より
$\frac{1}{n} (A_{n}, B_{n}) d (U, V) \sim N ((00), (14420)) .$
$P (A_{n} > 0, B_{n} > 0) = P (\frac{A _{n}}{n} > 0, \frac{B _{n}}{n} > 0)$ であり、極限の分布は非退化（行列式 $20 - 16 = 4 > 0$ ）なので、象限 ${u > 0, v > 0}$ の境界は確率 $0$ である。よって分布収束から
$n \to \infty lim P (A_{n} > 0, B_{n} > 0) = P (U > 0, V > 0) .$

象限確率. $U$ , $V / 20$ は相関係数
$ρ = \frac{4}{1 \cdot 20} = \frac{2}{5}$
の標準 2 変量正規分布に従う。 $(Z_{1}, Z_{2})$ が相関 $ρ$ の標準 2 変量正規分布のとき、 $Z_{1} = W_{1}$ , $Z_{2} = ρ W_{1} + 1 - ρ^{2} W_{2}$ （ $W_{1}, W_{2}$ は独立な標準正規）と表し、 $(W_{1}, W_{2})$ の分布が回転不変であることを使うと、 ${Z_{1} > 0, Z_{2} > 0}$ は $(W_{1}, W_{2})$ 平面で角度 $\frac{π}{2} + arcsin ρ$ の扇形になるので
$P (Z_{1} > 0, Z_{2} > 0) = \frac{\frac{π}{2} + arcsin ρ}{2 π} = \frac{1}{4} + \frac{arcsin ρ}{2 π} .$
ここで $θ = arcsin \frac{2}{5}$ とおくと $sin θ = \frac{2}{5}$ , $cos θ = \frac{1}{5}$ より $tan θ = 2$ 、すなわち $θ = arctan 2$ 。

したがって
$n \to \infty lim P (A_{n} > 0, B_{n} > 0) = \frac{1}{4} + \frac{arctan 2}{2 π} .$

別解

$Y_{k} = X_{k} - 1$ , $Z_{k} = X_{k}^{2} - 2$ とおくと、 $(Y_{k}, Z_{k})$ は i.i.d. で平均 $0$ （ $E [X] = 1$ , $E [X^{2}] = 2$ ）。 $E [X^{m}] = m!$ より、\n $Var (Y) = E [X^{2}] - 1 = 1$ 、\n $Var (Z) = E [X^{4}] - 4 = 24 - 4 = 20$ 、\n $Cov (Y, Z) = E [(X - 1) (X^{2} - 2)] = E [X^{3}] - E [X^{2}] - 2 E [X] + 2 = 6 - 2 - 2 + 2 = 4$ 。\n2 次元の中心極限定理により $(A_{n}, B_{n}) / n$ は平均 $0$ 、共分散行列 $(14420)$ の 2 次元正規分布に収束する。相関係数は $ρ = \frac{4}{1 \cdot 20} = \frac{2}{5}$ 。極限分布は非退化で、境界 ${x = 0} \cup {y = 0}$ の確率は $0$ なので、 $P (A_{n} > 0, B_{n} > 0)$ は極限正規分布の第 1 象限の確率に収束する。\n平均 $0$ の 2 次元正規分布で相関係数 $ρ$ のとき $P (U > 0, V > 0) = \frac{1}{4} + \frac{a r c s i n ρ}{2 π}$ 。 $arcsin \frac{2}{5} = arctan 2$ （直角三角形の対辺 2、隣辺 1、斜辺 $5$ ）。\nよって極限は $\frac{1}{4} + \frac{a r c t a n 2}{2 π}$ 。\n検算: 数値的に $arctan 2 \approx 1.10715$ 、 $\frac{1.10715}{6.28319} \approx 0.17621$ より約 $0.4262$ 。 $ρ = 0$ なら $0.25$ 、 $ρ = 1$ なら $0.5$ で、 $ρ \approx 0.894$ に対して妥当。

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