確率論の問題

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも平均 $1$ の指数分布（確率密度関数 $f(x)=e^{-x}(x\ge 0)$、$f(x)=0(x<0)$）に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k{e}^{-X_k}$$
とおく。確率 $1$ で極限 $L=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ が存在し、$L$ は定数になる。この定数 $L$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ（パラメータ $1$ の指数分布に従う）とする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]={\int }_{\Omega }n\sin \frac{X(\omega {)}^2}{n}P(d\omega )$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$G_n=\{(1+X_1)(1+X_2)\cdots (1+X_n){\}}^{1/n}$$
とおく。$n\to \infty$ のとき $G_n$ は確率 $1$ である定数 $L$ に収束する。$L$ の値を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつもの（パラメータ $2$ の指数分布）とする。$N$ は $X_1,X_2,\dots$ と独立で、正の整数に値をとり
$$P(N=n)=\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす確率変数とする。
$$S=\sum _{k=1}^N{X}_k$$
とおくとき、確率 $P(S>3)$ を求めよ。