測度論的な期待値と収束定理

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[{\left(1+\frac{X}{n}\right)}^n\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ（パラメータ $1$ の指数分布に従う）とする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]={\int }_{\Omega }n\sin \frac{X(\omega {)}^2}{n}P(d\omega )$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{3}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{5}$$ を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とし、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$（${\mathcal{F}}_0$ は自明な σ 加法族）とする。停止時刻 $$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=4\}$$ を考える（$\inf \varnothing =\infty$）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$X_t=2W_t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t\notin (-1,3)\}$$
とする（$X$ が初めて $-1$ または $3$ に到達する時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$U_1,U_2,\dots$ を独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従う確率変数とし、正の整数 $n$ に対して ${\overline{U}}_n=\frac{U_1+\cdots +U_n}{n}$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}E\left[\left|{\overline{U}}_n-\frac{1}{2}\right|\right]$$
を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$a_n=\frac{e^{-2n}}{\sqrt{n}}\sum _{k=0}^{\infty }|k-2n|\frac{(2n{)}^k}{k!}$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

$f:[0,1]\to \mathbb{R}$ を連続関数とする。正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}f\left(\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n}\right)d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく。ここで積分は $[0,1{]}^n$ 上のルベーグ積分であり、被積分関数は $x_1+\cdots +x_n=0$ となる 1 点（原点）では $f(0)$ と定めるものとする。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=f\left(\frac{2}{3}\right)$$
であることを証明せよ。

なお、大数の強法則（独立同分布で可積分な確率変数列の標本平均は期待値にほとんど確実に収束する）と、有界収束定理は用いてよい。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち $B_0=0$ であり、すべての $\omega$ で $t\mapsto B_t(\omega )$ は連続、$0\le t_0<t_1<\cdots <t_k$ に対して増分 $B_{t_1}-B_{t_0},\dots ,B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$ は独立で、$B_t-B_s(s<t)$ は平均 $0$、分散 $t-s$ の正規分布に従う。

$T>0$ を定数とし、
$$Y={\int }_0^T{B}_t^{2}dt$$
（各 $\omega$ ごとのリーマン積分）とおく。このとき
$$\mathrm{Var}(Y)=\frac{T^4}{3}$$
であることを証明せよ。

なお、平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$ の正規分布に従う確率変数 $Z$ について $E[Z^4]=3{\sigma }^4$ であること、およびフビニ・トネリの定理は用いてよい。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}\sqrt{\frac{x_1^3+x_2^3+\cdots +x_n^3}{x_1+x_2+\cdots +x_n}}{2}^n{x}_1{x}_2\cdots x_{n}d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく（積分はルベーグ積分とする。被積分関数は $x_1+\cdots +x_n=0$ となる点、すなわち原点では定義されないが、この 1 点は測度 $0$ なので積分の値に影響しない）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}\frac{n(x_1{x}_2\cdots x_n{)}^{1/n}}{x_1+x_2+\cdots +x_n}d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく（被積分関数は $x_1+\cdots +x_n>0$ となる点で定め、測度 $0$ の残りの集合は無視する）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\epsilon }_k=1)=P({\epsilon }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、
$$Z=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\epsilon }_k}{3^k}$$
とおく（この級数は各標本点で絶対収束する）。$Z$ の特性関数 ${\phi }_Z(t)=E\left[e^{itZ}\right]$ を無限積で表し、それを用いて $4$ 次モーメント $E\left[Z^4\right]$ を求めよ。

$a,b$ を正の整数とする。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。
$$T=\min \{n\ge 0:S_n=-a\text{または}{S}_n=b\}$$
とする。$S_T=b$ という条件のもとでの $T$ の条件付き期待値 $E[T\mid S_T=b]$ を $a,b$ の式で求めよ。

$\frac{1}{2}<p<1$ とし、$q=1-p$, $\mu =p-q=2p-1$ とおく。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数列で $P({\xi }_i=1)=p$, $P({\xi }_i=-1)=q$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n(n\ge 1)$ とおく。${\mathcal{F}}_0$ を自明な $\sigma$-加法族、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)(n\ge 1)$ とする。正の整数 $b$ を固定し、
$$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=b\}(\inf \varnothing =\infty )$$
とおく。$\tau <\infty$ のとき、$b$ に到達するまでの経路の「面積」を
$$A=\sum _{k=0}^{\tau -1}{S}_k$$
で定める。このとき $\tau <\infty$ a.s. であり、$A$ は可積分で
$$E[A]=\frac{b(b\mu -1)}{2{\mu }^2}$$
であることを証明せよ。

なお、$({\mathcal{F}}_n)$-マルチンゲール $(M_n)$ と $({\mathcal{F}}_n)$-停止時刻 $\sigma$ に対して、各 $n\ge 0$ で $E[M_{\sigma \wedge n}]=E[M_0]$ が成り立つこと（有界な停止時刻に対する任意抽出定理）、マルコフの不等式、単調収束定理（項別積分を含む）、優収束定理は用いてよい。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $a>0$, $\lambda >0$ と $x\in [-a,a]$ をとり、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|x+B_t|=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。ただし $e^{-\lambda \cdot \infty }=0$ と約束する。$\tau$ が $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻であること、伊藤の公式、および有界な発展的可測過程 $H$ に対して $E\left[{\int }_0^t{H}_{s}d{B}_s\right]=0$（$t\ge 0$）であることは用いてよい。

このとき
$$E\left[e^{-\lambda \tau }\right]=\frac{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }x\right)}{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }a\right)}$$
が成り立つことを証明せよ。