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確率解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学確率解析

$(Ω, F, (F_{t})_{t \geq 0}, P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、 $(B_{t})_{t \geq 0}$ を $B_{0} = 0$ であり、すべての標本路が連続な $(F_{t})$ -標準ブラウン運動とする。定数 $a > 0$ , $λ > 0$ と $x \in [- a, a]$ をとり、
$τ = in f {t \geq 0 : ∣ x + B_{t} ∣ = a} (in f \emptyset = \infty)$
と定める。ただし $e^{- λ \cdot \infty} = 0$ と約束する。 $τ$ が $(F_{t})$ -停止時刻であること、伊藤の公式、および有界な発展的可測過程 $H$ に対して $E [\int_{0}^{t} H_{s} d B_{s}] = 0$ （ $t \geq 0$ ）であることは用いてよい。

このとき
$E [e^{- λ τ}] = \frac{cosh ( 2 λ x )}{cosh ( 2 λ a )}$
が成り立つことを証明せよ。

この問題で使うもの

伊藤の公式（説明と入口の問題）
ブラウン運動の停止時刻と到達確率（説明と入口の問題）
任意停止定理（説明と入口の問題）
伊藤積分と伊藤の等長性（説明と入口の問題）
測度論的な期待値と収束定理（説明と入口の問題）
指数マルチンゲールと多項式マルチンゲール（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（114 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ファインマン・カッツ型の議論を使います。 $\frac{1}{2} u^{''} = λ u$ と境界条件 $u (\pm a) = 1$ を満たす関数 $u$ をとり、 $e^{- λ t} u (x + B_{t})$ を停止時刻 $τ$ で止めたものの期待値を考えます。

ヒント 2

$u (y) = cosh (2 λ y) / cosh (2 λ a)$ とすると、伊藤の公式で $e^{- λ t} u (x + B_{t})$ の $d t$ の項が消えます。

ヒント 3

$M_{t \land τ} = u (x) + \int_{0}^{t} 1_{{s \leq τ}} e^{- λ s} u^{'} (x + B_{s}) d B_{s}$ で、 $s \leq τ$ では $∣ x + B_{s} ∣ \leq a$ なので被積分関数は有界です。これから $E [M_{t \land τ}] = u (x)$ が出ます。あとは $t \to \infty$ の極限を考えます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$\frac{1}{2} u^{''} = λ u$ かつ $u (\pm a) = 1$ を満たす $u (y) = cosh (2 λ y) / cosh (2 λ a)$ を用意し、 $[- a, a]$ 上で $0 < u \leq 1$ 、 $u^{'}$ が有界であることを確かめている（2 点）
伊藤の公式で $e^{- λ t} u (x + B_{t})$ の $d t$ 項が消え、伊藤積分だけが残ることを示している（3 点）
$τ$ で止めた伊藤積分の被積分関数が有界であることを $∣ x + B_{s} ∣ \leq a$ （ $s \leq τ$ ）から示し、 $E [M_{t \land τ}] = u (x)$ を導いている（2 点）
$τ < \infty$ と $τ = \infty$ に場合分けして $M_{t \land τ} \to e^{- λ τ}$ を示し、有界性から優収束定理を適用して結論している（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$α = 2 λ > 0$ とし、 $u (y) = \frac{cosh ( α y )}{cosh ( α a )}$ とおく。

ステップ 1（ $u$ の性質）。 $u$ は $C^{\infty}$ 級で、 $u^{'} (y) = \frac{α sinh ( α y )}{cosh ( α a )}$ , $u^{''} (y) = \frac{α ^{2} cosh ( α y )}{cosh ( α a )} = 2 λ u (y)$ である。したがって
$\frac{1}{2} u^{''} (y) - λ u (y) = 0 (y \in R) . (1)$
また $cosh$ は偶関数で $[0, \infty)$ 上単調増加なので、 $∣ y ∣ \leq a$ のとき $0 < u (y) \leq 1$ 、かつ $u (\pm a) = 1$ 。さらに $∣ y ∣ \leq a$ のとき $∣ u^{'} (y) ∣ \leq α tanh (α a) \leq α$ である。

ステップ 2（伊藤の公式）。 $M_{t} = e^{- λ t} u (x + B_{t})$ とおく。関数 $(t, y) \mapsto e^{- λ t} u (y)$ は $C^{1, 2}$ 級なので、伊藤の公式と $d ⟨ B ⟩_{t} = d t$ より
$d M_{t} = e^{- λ t} (- λ u (x + B_{t}) + \frac{1}{2} u^{''} (x + B_{t})) d t + e^{- λ t} u^{'} (x + B_{t}) d B_{t} = e^{- λ t} u^{'} (x + B_{t}) d B_{t}$
（最後の等号は $(1)$ による）。よって a.s. にすべての $t$ で $M_{t} = u (x) + \int_{0}^{t} e^{- λ s} u^{'} (x + B_{s}) d B_{s}$ 。

ステップ 3（停止と期待値）。 $t \geq 0$ を固定する。伊藤積分の停止に関する性質より
$M_{t \land τ} = u (x) + \int_{0}^{t} H_{s} d B_{s}, H_{s} = 1_{{s \leq τ}} e^{- λ s} u^{'} (x + B_{s}) .$
$τ$ は停止時刻なので $1_{{s \leq τ}}$ は左連続な適合過程で、 $H$ は発展的可測である。また $s \leq τ$ では、 $∣ x ∣ \leq a$ と標本路の連続性から $∣ x + B_{s} ∣ \leq a$ である（もし $s \leq τ$ で $∣ x + B_{s} ∣ > a$ なら、中間値の定理により $s$ より前に $∣ x + B ∣ = a$ となり、 $τ < s$ となって矛盾する）。よってステップ 1 から $∣ H_{s} ∣ \leq α$ で $H$ は有界である。仮定より $E [\int_{0}^{t} H_{s} d B_{s}] = 0$ なので
$E [M_{t \land τ}] = u (x) . (2)$

ステップ 4（ $t \to \infty$ ）。 上と同じ理由で $∣ x + B_{t \land τ} ∣ \leq a$ だから $0 \leq M_{t \land τ} \leq e^{- λ (t \land τ)} \leq 1$ である。各 $ω$ について場合分けする。
- $τ < \infty$ のとき: $t \geq τ$ では $M_{t \land τ} = e^{- λ τ} u (x + B_{τ})$ であり、連続性より $∣ x + B_{τ} ∣ = a$ 、よって $u (x + B_{τ}) = 1$ 。ゆえに $M_{t \land τ} \to e^{- λ τ}$ 。
- $τ = \infty$ のとき: $0 \leq M_{t} \leq e^{- λ t} \to 0 = e^{- λ τ}$ 。

よって $M_{t \land τ} \to e^{- λ τ}$ がすべての $ω$ で成り立つ。 $M_{t \land τ}$ は定数 $1$ で押さえられるので、優収束定理（ $t = n \to \infty$ ）と $(2)$ より
$E [e^{- λ τ}] = n \to \infty lim E [M_{n \land τ}] = u (x) .$

結論。 $E [e^{- λ τ}] = \frac{cosh ( 2 λ x )}{cosh ( 2 λ a )}$ が示された。（ $x = \pm a$ のときは $τ = 0$ で両辺とも $1$ であり、上の議論にも含まれている。）

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