確率解析の問題

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $a>0$, $\lambda >0$ と $x\in [-a,a]$ をとり、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:|x+B_t|=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。ただし $e^{-\lambda \cdot \infty }=0$ と約束する。$\tau$ が $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻であること、伊藤の公式、および有界な発展的可測過程 $H$ に対して $E\left[{\int }_0^t{H}_{s}d{B}_s\right]=0$（$t\ge 0$）であることは用いてよい。

このとき
$$E\left[e^{-\lambda \tau }\right]=\frac{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }x\right)}{\cosh \left(\sqrt{2\lambda }a\right)}$$
が成り立つことを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。${\mathcal{L}}^2$ を、発展的可測な実数値過程 $H=(H_t{)}_{0\le t\le 1}$ で $E\left[{\int }_0^1{H}_s^{2}ds\right]<\infty$ を満たすもの全体とする。$H\in {\mathcal{L}}^2$ に対する伊藤積分 ${\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s$ について、次の事実は用いてよい。

• $H\mapsto {\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s$ は ${\mathcal{L}}^2$ 上で線形（等式は a.s. の意味）である。
• $E\left[{\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s\right]=0$ であり、伊藤の等長性 $E\left[{\left({\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s\right)}^2\right]=E\left[{\int }_0^1{H}_s^{2}ds\right]$ が成り立つ。
• 伊藤の公式。

このとき、任意の $H\in {\mathcal{L}}^2$ に対して
$$E\left[{\left(B_1^2-{\int }_0^1{H}_{s}d{B}_s\right)}^2\right]\ge 1$$
が成り立つことを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $\theta >0$, $\sigma >0$, $x\in \mathbb{R}$ をとり、連続な $({\mathcal{F}}_t)$-適合過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ が、a.s. にすべての $t\ge 0$ で
$$X_t=x-\theta {\int }_0^t{X}_{u}du+\sigma B_t$$
を満たす（すなわち確率微分方程式 $d{X}_t=-\theta X_{t}dt+\sigma d{B}_t$, $X_0=x$ の解である）とする。伊藤の公式（積の公式を含む）、確定的な関数 $f\in L^2([0,t])$ に対する伊藤積分 ${\int }_0^{t}f(u)d{B}_u$ の期待値が $0$ であること、および伊藤の等長性は用いてよい。

このとき、$0\le s\le t$ に対して
$$\mathrm{Cov}(X_s,X_t)=\frac{{\sigma }^2}{2\theta }\left(e^{-\theta (t-s)}-e^{-\theta (t+s)}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $\mu >0$, $a>0$ に対して $X_t=B_t-\mu t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。次の事実は用いてよい。

• $\tau$ は $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻である。
• 連続な $({\mathcal{F}}_t)$-マルチンゲール $M$ と有界な停止時刻 $\sigma$ に対して $E[M_{\sigma }]=E[M_0]$（任意抽出定理）。
• $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{B_t}{t}=0$ a.s.

このとき
$$P\left(\underset{t\ge 0}{\sup }{X}_t\ge a\right)=P(\tau <\infty )=e^{-2\mu a}$$
であることを証明せよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。$T=\log 2$ とするとき、期待値
$$E\left[W_T^2\exp \left(-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds\right)\right]$$
の値を求めよ。