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確率解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学確率解析

$(Ω, F, (F_{t})_{t \geq 0}, P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、 $(B_{t})_{t \geq 0}$ を $B_{0} = 0$ であり、すべての標本路が連続な $(F_{t})$ -標準ブラウン運動とする。定数 $μ > 0$ , $a > 0$ に対して $X_{t} = B_{t} - μ t$ とおき、
$τ = in f {t \geq 0 : X_{t} = a} (in f \emptyset = \infty)$
と定める。次の事実は用いてよい。

$τ$ は $(F_{t})$ -停止時刻である。
連続な $(F_{t})$ -マルチンゲール $M$ と有界な停止時刻 $σ$ に対して $E [M_{σ}] = E [M_{0}]$ （任意抽出定理）。
$t \to \infty lim \frac{B _{t}}{t} = 0$ a.s.

このとき
$P (t \geq 0 sup X_{t} \geq a) = P (τ < \infty) = e^{- 2 μ a}$
であることを証明せよ。

この問題で使うもの

指数マルチンゲールと多項式マルチンゲール（説明と入口の問題）
ブラウン運動の停止時刻と到達確率（説明と入口の問題）
任意停止定理（説明と入口の問題）
マルチンゲール（説明と入口の問題）
ブラウン運動（説明と入口の問題）
単調収束定理・優収束定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（114 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$X$ の指数関数 $e^{θ X_{t}}$ がマルチンゲールになるように $θ$ を選び、停止時刻 $t \land τ$ で任意抽出定理を使ってから $t \to \infty$ とします。

ヒント 2

$e^{θ B_{t} - θ^{2} t /2}$ がマルチンゲールなので、 $θ X_{t} = θ B_{t} - θ μ t$ と比べて $θ^{2} /2 = θ μ$ 、すなわち $θ = 2 μ$ とします。

ヒント 3

$M_{t} = e^{2 μ X_{t}}$ とすると $E [M_{t \land τ}] = 1$ で、 $X_{t \land τ} \leq a$ より $M_{t \land τ} \leq e^{2 μ a}$ です。 $τ = \infty$ の事象では $B_{t} / t \to 0$ から $X_{t} \to - \infty$ となることを使い、優収束定理で極限をとります。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$θ = 2 μ$ として $M_{t} = e^{2 μ X_{t}} = e^{2 μ B_{t} - 2 μ^{2} t}$ がマルチンゲールであることを、増分の独立性と正規分布のモーメント母関数から示している（3 点）
有界停止時刻 $t \land τ$ に任意抽出定理を適用して $E [M_{t \land τ}] = 1$ を得て、 $X_{t \land τ} \leq a$ から $M_{t \land τ} \leq e^{2 μ a}$ という一様な上界を示している（2 点）
$B_{t} / t \to 0$ から $X_{t} \to - \infty$ を導き、 $τ < \infty$ と $τ = \infty$ で場合分けして $M_{t \land τ}$ の a.s. 極限が $e^{2 μ a} 1_{{τ < \infty}}$ であることを示している（2 点）
優収束定理で極限と期待値を交換し $P (τ < \infty) = e^{- 2 μ a}$ を結論している（2 点）
${sup_{t} X_{t} \geq a}$ と ${τ < \infty}$ が（零集合を除いて）一致することを、連続性と $X_{t} \to - \infty$ を用いて確かめている（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

ステップ 1（指数マルチンゲール）。 $θ = 2 μ$ とし、 $M_{t} = exp (θ X_{t}) = exp (2 μ B_{t} - 2 μ^{2} t)$ とおく。 $M$ は連続で適合しており、 $E [M_{t}] = e^{- 2 μ^{2} t} E [e^{2 μ B_{t}}] = e^{- 2 μ^{2} t} e^{2 μ^{2} t} = 1 < \infty$ なので可積分である（ $B_{t} \sim N (0, t)$ のモーメント母関数 $E [e^{θ B_{t}}] = e^{θ^{2} t /2}$ を使った）。 $0 \leq s < t$ に対して、 $B_{t} - B_{s}$ は $F_{s}$ と独立で $N (0, t - s)$ に従うから
$E [M_{t} ∣ F_{s}] = e^{2 μ B_{s} - 2 μ^{2} t} E [e^{2 μ (B_{t} - B_{s})}] = e^{2 μ B_{s} - 2 μ^{2} t} e^{2 μ^{2} (t - s)} = M_{s} .$
よって $M$ は連続な $(F_{t})$ -マルチンゲールで $M_{0} = 1$ である。

ステップ 2（任意抽出定理）。 $t \geq 0$ を固定すると $t \land τ$ は有界な停止時刻なので、任意抽出定理より
$E [M_{t \land τ}] = E [M_{0}] = 1. (1)$
また $s < τ$ では $X_{s} \neq = a$ であり、 $X_{0} = 0 < a$ と連続性・中間値の定理から $s < τ$ のとき $X_{s} < a$ である（もし $X_{s} > a$ となる $s < τ$ があれば、 $[0, s]$ のどこかで $X = a$ となり $τ \leq s$ に反する）。 $τ < \infty$ なら $X_{τ} = a$ （連続性より下限が達成される）。したがって常に $X_{t \land τ} \leq a$ であり
$0 < M_{t \land τ} \leq e^{2 μ a} . (2)$

ステップ 3（ $t \to \infty$ の極限）。 事実 $B_{t} / t \to 0$ a.s. より、確率 1 の事象 $Ω_{0}$ 上で $X_{t} / t = B_{t} / t - μ \to - μ < 0$ 、したがって $X_{t} \to - \infty$ である。 $Ω_{0}$ 上で場合分けする。
- $τ < \infty$ のとき: $t \geq τ$ で $M_{t \land τ} = M_{τ} = e^{2 μ a}$ なので、 $M_{t \land τ} \to e^{2 μ a}$ 。
- $τ = \infty$ のとき: $M_{t \land τ} = M_{t} = e^{2 μ X_{t}} \to 0$ 。

よって a.s. に $M_{t \land τ} \to e^{2 μ a} 1_{{τ < \infty}}$ である。 $(2)$ より $M_{t \land τ}$ は定数 $e^{2 μ a}$ で一様に押さえられるから、優収束定理（ $t \to \infty$ は $t = n \to \infty$ の列でとればよい）と $(1)$ より
$1 = n \to \infty lim E [M_{n \land τ}] = e^{2 μ a} P (τ < \infty),$
すなわち $P (τ < \infty) = e^{- 2 μ a}$ である。

ステップ 4（ ${sup X_{t} \geq a}$ と ${τ < \infty}$ の一致）。 $τ < \infty$ なら $X_{τ} = a$ なので $sup_{t} X_{t} \geq a$ 。逆に $Ω_{0}$ 上で $sup_{t} X_{t} \geq a$ とする。(i) ある $s$ で $X_{s} \geq a$ なら、 $X_{0} = 0 < a$ と中間値の定理より $[0, s]$ 内に $X = a$ となる点があり $τ < \infty$ 。(ii) すべての $s$ で $X_{s} < a$ なら $sup_{t} X_{t} = a$ で、 $X_{t_{n}} \to a$ となる列 $t_{n}$ がとれる。 $(t_{n})$ が有界なら収束部分列 $t_{n_{k}} \to t^{*}$ をとれて、連続性より $X_{t^{*}} = a$ となり仮定に反する。 $(t_{n})$ が非有界なら部分列で $t_{n_{k}} \to \infty$ となり、 $X_{t} \to - \infty$ より $X_{t_{n_{k}}} \to - \infty$ となって $X_{t_{n}} \to a$ に反する。よって (ii) は起こらない。以上より ${sup_{t} X_{t} \geq a}$ と ${τ < \infty}$ は零集合の差を除いて一致し、確率は等しい。

結論。 $P (sup_{t \geq 0} X_{t} \geq a) = P (τ < \infty) = e^{- 2 μ a}$ が示された。

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