伊藤の公式

伊藤の公式 $df (t, B_{t}) = (f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx}) d t + f_{x} d B_{t}$ を使って確率過程の微分を計算できる

前提

伊藤積分と伊藤の等長性（大学院数学確率解析）

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算数中学高校大学大学院

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伊藤積分と伊藤の等長性（大学院数学確率解析）

説明

伊藤の公式は、ブラウン運動 $B_{t}$ を代入した関数 $X_{t} = f (t, B_{t})$ が時間とともにどう変化するかを、 $d t$ の項と $d B_{t}$ の項に分けて書き表す道具です。普通の微分の連鎖律に、ブラウン運動の激しい揺れから生じる補正項 $\frac{1}{2} f_{xx} d t$ が加わるのが特徴です。 $B_{t}^{n}$ や $e^{B_{t}}$ などの確率微分の計算に使えます。また、伊藤積分の期待値が $0$ になることと組み合わせると、 $E [B_{t}^{4}]$ のようなモーメントも計算できます。

なぜそうしてよいのか

まず記号の意味を決めます。 $f (t, x)$ は $t$ について 1 回、 $x$ について 2 回連続的に偏微分できる関数とし、これを $C^{1, 2}$ 級と書きます。このとき
$df (t, B_{t}) = (f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx}) d t + f_{x} d B_{t}$
と書くのは、積分の等式
$f (t, B_{t}) = f (0, B_{0}) + \int_{0}^{t} (f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx}) (s, B_{s}) d s + \int_{0}^{t} f_{x} (s, B_{s}) d B_{s}$
の略記です。偏導関数はすべて $x = B_{s}$ を代入した値です。右辺の最後の項は伊藤積分です。

なぜこの形になるかを見ます。 $[0, t]$ を細かく分け、各小区間で $f$ を 2 次までテイラー展開すると
$Δ f \approx f_{t} Δ t + f_{x} Δ B + \frac{1}{2} f_{xx} (Δ B)^{2} + \dots$
となります。普通の微分では $(Δ x)^{2}$ は $Δ t$ より速く $0$ に近づくので無視できます。ところがブラウン運動では $E [(Δ B)^{2}] = Δ t$ なので、 $(Δ B)^{2}$ は $Δ t$ と同じ大きさで、無視できません。さらに $V [(Δ B)^{2}] = 2 (Δ t)^{2}$ であり、各区間の増分は独立です。よって $\sum (Δ B_{i})^{2}$ は平均が $t$ 、分散が $\sum 2 (Δ t_{i})^{2} \to 0$ となり、和は $t$ に収束します（2 乗平均の意味で）。つまり和の中では $(Δ B)^{2}$ を $Δ t$ に置き換えてよく、これが $\frac{1}{2} f_{xx} d t$ の正体です。

残りの項 $(Δ t)^{2}$ 、 $Δ t Δ B$ 、 $(Δ B)^{3}$ などは、和をとっても $0$ に近づきます。これを覚えやすくまとめると、乗積表 $(d B_{t})^{2} = d t$ 、 $d t d B_{t} = 0$ 、 $(d t)^{2} = 0$ になります。

手順

$X_{t} = f (t, B_{t})$ となる関数 $f (t, x)$ を決め、 $C^{1, 2}$ 級であることを確かめる。このとき $B_{t}$ を変数 $x$ に置き換えて考える。
偏導関数 $f_{t}, f_{x}, f_{xx}$ を計算する。 $f_{t}$ は $x$ を固定して $t$ で微分したもの。
公式 $df (t, B_{t}) = (f_{t} + \frac{1}{2} f_{xx}) d t + f_{x} d B_{t}$ に代入し、 $x = B_{t}$ に戻す。
必要なら積分形 $X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} (\dots) d s + \int_{0}^{t} (\dots) d B_{s}$ に書き直す。
期待値を求めるときは、 $E [\int_{0}^{t} f_{x} (s, B_{s})^{2} d s] < \infty$ を確かめる。そのうえで伊藤積分の期待値を $0$ とし、 $d s$ の項の期待値だけを計算する。

例題

$B_{t}$ を $B_{0} = 0$ の標準ブラウン運動とする。伊藤の公式を用いて $E [B_{t}^{4}]$ を $t$ の式で求めよ。

例題の解答

手順1： $f (t, x) = x^{4}$ とおくと $X_{t} = B_{t}^{4}$ です。 $f$ は多項式なので $C^{1, 2}$ 級です。

手順2：偏導関数は $f_{t} = 0$ 、 $f_{x} = 4 x^{3}$ 、 $f_{xx} = 12 x^{2}$ です。

手順3：公式に代入すると
$d (B_{t}^{4}) = (0 + \frac{1}{2} \cdot 12 B_{t}^{2}) d t + 4 B_{t}^{3} d B_{t} = 6 B_{t}^{2} d t + 4 B_{t}^{3} d B_{t}$
となります。

手順4： $B_{0} = 0$ なので
$B_{t}^{4} = \int_{0}^{t} 6 B_{s}^{2} d s + \int_{0}^{t} 4 B_{s}^{3} d B_{s}$
です。

手順5： $B_{s} \sim N (0, s)$ なので $E [B_{s}^{6}] = 15 s^{3}$ です。したがって
$E [\int_{0}^{t} 16 B_{s}^{6} d s] = \int_{0}^{t} 240 s^{3} d s = 60 t^{4} < \infty$
となり、伊藤積分の項の期待値は $0$ です。

第 1 項の被積分関数は非負です。よって期待値と $d s$ 積分の順序を入れ替えてよく（単調収束定理）、
$E [B_{t}^{4}] = \int_{0}^{t} 6 E [B_{s}^{2}] d s = \int_{0}^{t} 6 s d s = 3 t^{2}$
を得ます。これは正規分布の 4 次モーメント $3 σ^{4}$ （ $σ^{2} = t$ ）と一致します。

答え: $3 t^{2}$

よくある誤り

普通の連鎖律のまま $d (B_{t}^{2}) = 2 B_{t} d B_{t}$ としてしまう誤り。正しくは $f_{xx} = 2$ の補正項が加わり、 $d (B_{t}^{2}) = 2 B_{t} d B_{t} + d t$ となる。だから $E [B_{t}^{2}] = t$ であって $0$ ではない。
$f$ が $t$ を含むのに $f_{t}$ を落とす誤り。たとえば $X_{t} = e^{B_{t} - t /2}$ で $d X_{t} = X_{t} d B_{t} + \frac{1}{2} X_{t} d t$ としてしまう。正しくは $f_{t} = - \frac{1}{2} f$ が補正項を打ち消し、 $d X_{t} = X_{t} d B_{t}$ となる。
$B_{t}$ を $t$ の関数とみて $f_{t}$ を計算してしまう誤り。 $f_{t}$ は $x$ を固定した偏微分である。たとえば $f (t, x) = t x$ では $f_{t} = x$ 、 $f_{x} = t$ 、 $f_{xx} = 0$ なので、 $d (t B_{t}) = B_{t} d t + t d B_{t}$ となる。
可積分性を確かめずに伊藤積分の期待値を $0$ とする誤り。 $E [\int_{0}^{t} f_{x} (s, B_{s})^{2} d s] < \infty$ を確認してから使う。また $d (e^{B_{t}}) = e^{B_{t}} d B_{t} + \frac{1}{2} e^{B_{t}} d t$ の $d t$ 項を忘れて $E [e^{B_{t}}] = 1$ とするのも誤り。正しくは $E [e^{B_{t}}] = e^{t /2}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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