確率解析の問題

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、
$$X_t=e^t{B}_t^2(t\ge 0)$$
とおく。伊藤の公式により、$X_t$ は $2$ 変数の連続関数 $\mu (t,x)$, $\sigma (t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=\mu (t,B_t)dt+\sigma (t,B_t)d{B}_t$$
の形に表される。このときのドリフト係数 $\mu (t,x)$ を $t$, $x$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、確率過程 $X_t$ を
$$X_t=t{B}_t^3(t\ge 0)$$
で定める。伊藤の公式により、$X_t$ は実数 $t\ge 0$, $x$ の連続関数 $a(t,x)$, $b(t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=a(t,B_t)dt+b(t,B_t)d{B}_t$$
の形に表される。このときのドリフト係数 $a(t,x)$ を $t$ と $x$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。ドリフト $1$ のブラウン運動
$$X_t=B_t+t(t\ge 0)$$
を考える。期待値
$$E_P\left[X_2^2{e}^{-X_2}\right]$$
の値を、ギルサノフの定理を用いて求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=X_{t}dt+2X_{t}d{W}_t,X_0=3$$
の解とする。$T=\log 2$ のとき、分散 $V(X_T)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=X_{t}dt+X_{t}d{W}_t,X_0=2$$
の解（幾何ブラウン運動）とする。$T=\log 3$ のとき、$X_T$ の分散 $V(X_T)$ を求めよ。