伊藤積分と伊藤の等長性

伊藤積分の期待値が 0 になることと伊藤の等長性を使って、伊藤積分の期待値・分散を計算できる

前提

ブラウン運動（大学院数学確率論）
マルチンゲール（大学院数学確率論）

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算数中学高校大学大学院

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マルチンゲール（大学院数学確率論）

説明

伊藤積分 $X = \int_{0}^{T} H_{t} d B_{t}$ は、ブラウン運動 $B$ の増分に、その時点までの情報で決まる重み $H_{t}$ を掛けて足し合わせたものです。 $X$ の分布を具体的に求めなくても、期待値は常に $0$ になります。分散は、普通の積分（ルベーグ積分） $\int_{0}^{T} E [H_{t}^{2}] d t$ に置き換えて計算できます。確率微分方程式の解の平均・分散の計算や、確率積分どうしの共分散を求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

まず $(F_{t})$ を、ブラウン運動 $B$ がこれに適合し、各 $s < t$ で増分 $B_{t} - B_{s}$ が $F_{s}$ と独立になるフィルトレーションとします（たとえば $B$ 自身が生成するもの）。被積分関数として、適合し $E [\int_{0}^{T} H_{t}^{2} d t] < \infty$ を満たす過程 $H$ を考えます。最も簡単なのは単純過程 $H_{t} = H_{i} (t_{i} \leq t < t_{i + 1})$ で、各 $H_{i}$ は $F_{t_{i}}$ 可測かつ $E [H_{i}^{2}] < \infty$ とします。このとき $X = \sum_{i} H_{i} Δ B_{i}$ 、 $Δ B_{i} = B_{t_{i + 1}} - B_{t_{i}}$ と定めます。要点は、重み $H_{i}$ を区間の左端の情報で決めていることです。そのため $Δ B_{i}$ は $F_{t_{i}}$ と独立で、 $E [Δ B_{i} ∣ F_{t_{i}}] = 0$ 、 $E [Δ B_{i}^{2} ∣ F_{t_{i}}] = t_{i + 1} - t_{i}$ が成り立ちます。

期待値は、条件付き期待値の塔の性質から $E [H_{i} Δ B_{i}] = E [H_{i} E [Δ B_{i} ∣ F_{t_{i}}]] = 0$ です。2 乗を展開すると、対角項は $E [H_{i}^{2} Δ B_{i}^{2}] = E [H_{i}^{2} E [Δ B_{i}^{2} ∣ F_{t_{i}}]] = E [H_{i}^{2}] (t_{i + 1} - t_{i})$ になります。 $i < j$ の交差項は、 $H_{i} Δ B_{i} H_{j}$ が $F_{t_{j}}$ 可測なので $E [H_{i} Δ B_{i} H_{j} E [Δ B_{j} ∣ F_{t_{j}}]] = 0$ です。各 $H_{i} Δ B_{i}$ は 2 乗可積分なので、この積は可積分で、計算は正当です。以上から
$E [X] = 0, E [X^{2}] = i \sum E [H_{i}^{2}] (t_{i + 1} - t_{i}) = E [\int_{0}^{T} H_{t}^{2} d t]$
が得られます。後者の等式を伊藤の等長性といいます。

一般の $H$ は単純過程 $H^{(n)}$ で $E \int_{0}^{T} ∣ H_{t}^{(n)} - H_{t} ∣^{2} d t \to 0$ と近似できます。等長性によって $\int H^{(n)} d B$ は $L^{2} (Ω)$ のコーシー列になり、その極限として伊藤積分 $\int H d B$ が定義されます。 $L^{2}$ 収束では期待値と 2 乗の期待値が極限に引き継がれるので、2 つの性質は一般の $H$ でもそのまま成り立ちます。マルチンゲールの言葉で言えば、 $M_{t} = \int_{0}^{t} H_{s} d B_{s}$ は $M_{0} = 0$ の 2 乗可積分マルチンゲールなので、 $E [M_{t}] = E [M_{0}] = 0$ です。

手順

被積分関数 $H_{t}$ が適合している（時刻 $t$ までの情報で決まる）ことと、 $E [\int_{0}^{T} H_{t}^{2} d t] < \infty$ を確認する。
期待値は計算せずに $E [\int_{0}^{T} H_{t} d B_{t}] = 0$ とする。
各時刻 $t$ で $E [H_{t}^{2}]$ を、ブラウン運動の積率（ $E [B_{t}] = 0$ , $E [B_{t}^{2}] = t$ など）から求める。
伊藤の等長性 $E [(\int_{0}^{T} H_{t} d B_{t})^{2}] = \int_{0}^{T} E [H_{t}^{2}] d t$ を使い、 $t$ についての普通の定積分を計算する。 $H_{t}^{2} \geq 0$ なので、期待値と $d t$ 積分は交換してよい。
分散は $Var (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2} = E [X^{2}]$ とする。2 つの積分の共分散が必要なら $E [\int_{0}^{T} H d B \int_{0}^{T} K d B] = \int_{0}^{T} E [H_{t} K_{t}] d t$ を使う。

例題

$B$ を標準ブラウン運動、 $(F_{t})$ をその生成するフィルトレーションとし、 $X = \int_{0}^{2} (B_{t} + t) d B_{t}$ とおく。 $X$ の分散を求めよ。

例題の解答

手順 1: $H_{t} = B_{t} + t$ は時刻 $t$ の $B_{t}$ だけで決まるので適合しています。また $E [H_{t}^{2}] = t + t^{2}$ （手順 3 で計算）なので、 $E \int_{0}^{2} H_{t}^{2} d t < \infty$ です。

手順 2: $E [X] = 0$ です。

手順 3: $E [(B_{t} + t)^{2}] = E [B_{t}^{2}] + 2 tE [B_{t}] + t^{2} = t + 0 + t^{2} = t + t^{2}$ です。

手順 4: 伊藤の等長性より
$E [X^{2}] = \int_{0}^{2} (t + t^{2}) d t = [\frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{2} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3} .$

手順 5: $Var (X) = E [X^{2}] - 0^{2} = \frac{14}{3}$ です。

答え: $\frac{14}{3}$

よくある誤り

等長性で $E [H_{t}^{2}]$ の代わりに $(E [H_{t}])^{2}$ を積分してしまう誤り。たとえば $\int_{0}^{T} B_{t} d B_{t}$ の分散を $\int_{0}^{T} (E [B_{t}])^{2} d t = 0$ としてしまう。正しくは $\int_{0}^{T} E [B_{t}^{2}] d t = \int_{0}^{T} t d t = \frac{T ^{2}}{2}$ 。
適合していない被積分関数にも期待値 $0$ を当てはめてしまう誤り。たとえば未来の値 $B_{T}$ を重みにした $\sum_{i} B_{T} Δ B_{i} = B_{T} \cdot B_{T}$ の期待値は $E [B_{T}^{2}] = T \neq = 0$ である。期待値 $0$ と等長性は、 $H_{t}$ が時刻 $t$ までの情報で決まるとき（区間の左端で評価するとき）に限って成り立つ。
普通の微積分にならって $\int_{0}^{T} B_{t} d B_{t} = \frac{B _{T}^{2}}{2}$ としてしまう誤り。この式では期待値が $\frac{T}{2} \neq = 0$ となり、期待値 $0$ と矛盾する。正しくは $\int_{0}^{T} B_{t} d B_{t} = \frac{B _{T}^{2} - T}{2}$ （ $L^{2}$ 極限で $\sum Δ B_{i}^{2} \to T$ となることによる）。
$d t$ についての積分にも期待値 $0$ を当てはめてしまう誤り。たとえば $E [\int_{0}^{T} B_{t}^{2} d t] = 0$ とするのは誤りで、正しくは $\int_{0}^{T} t d t = \frac{T ^{2}}{2}$ 。期待値が $0$ になるのは $d B_{t}$ についての伊藤積分だけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

伊藤の公式（大学院数学確率解析）