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確率解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学確率解析

$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。実数 $t \geq 0$ と $x$ に対して
$u (t, x) = E [exp (- \int_{0}^{t} (x + W_{s}) d s) e^{x + W_{t}}]$
と定める。ファインマン・カッツの公式により、 $u$ は偏微分方程式
$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - x u, u (0, x) = e^{x}$
の解を与える。 $u (t, x)$ を $t$ と $x$ の式で表せ。

この問題で使うもの

ブラウン運動の時間積分のガウス性（説明と入口の問題）
伊藤積分と伊藤の等長性（説明と入口の問題）
伊藤の公式（説明と入口の問題）
ファインマン・カッツの公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（127 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

指数の中身を $x$ を含む確定的な部分と、ブラウン運動を含むランダムな部分に分けてみよう。ランダムな部分がガウス型確率変数になることを示せばよい。

ヒント 2

部分積分 $d (s W_{s}) = W_{s} d s + s d W_{s}$ を使うと $\int_{0}^{t} W_{s} d s = \int_{0}^{t} (t - s) d W_{s}$ と書ける。確定的な被積分関数の伊藤積分は正規分布に従い、分散は伊藤の等長性で求まる。

ヒント 3

$W_{t} - \int_{0}^{t} W_{s} d s = \int_{0}^{t} (1 - t + s) d W_{s}$ であり、その分散は $\int_{0}^{t} (1 - t + s)^{2} d s = t - t^{2} + \frac{t ^{3}}{3}$ となる。あとは $E [e^{Z}] = e^{σ^{2} /2}$ を使う。

答えと解説

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exp ((1 - t) x + \frac{t}{2} - \frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{3}}{6})

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解説を読む

$X_{s} = x + W_{s}$ とおくと、指数の中身は
$- \int_{0}^{t} (x + W_{s}) d s + x + W_{t} = (1 - t) x + (W_{t} - \int_{0}^{t} W_{s} d s)$
である。

時間積分を確率積分で表す. 伊藤の公式（部分積分）より $d (s W_{s}) = W_{s} d s + s d W_{s}$ なので
$\int_{0}^{t} W_{s} d s = t W_{t} - \int_{0}^{t} s d W_{s} = \int_{0}^{t} (t - s) d W_{s} .$
よって
$Z := W_{t} - \int_{0}^{t} W_{s} d s = \int_{0}^{t} (1 - (t - s)) d W_{s} = \int_{0}^{t} (1 - t + s) d W_{s} .$
被積分関数は確定的（非ランダム）な関数なので、 $Z$ は平均 $0$ の正規分布に従い、伊藤の等長性より分散は
$σ^{2} = \int_{0}^{t} (1 - t + s)^{2} d s = [\frac{( 1 - t + s ) ^{3}}{3}]_{s = 0}^{s = t} = \frac{1 - ( 1 - t ) ^{3}}{3} = t - t^{2} + \frac{t ^{3}}{3} .$

期待値の計算. $Z \sim N (0, σ^{2})$ なら $E [e^{Z}] = e^{σ^{2} /2}$ だから
$u (t, x) = e^{(1 - t) x} E [e^{Z}] = exp ((1 - t) x + \frac{t}{2} - \frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{3}}{6}) .$

検算. $lo g u = (1 - t) x + \frac{t}{2} - \frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{3}}{6}$ より
$\frac{u _{t}}{u} = - x + \frac{1}{2} - t + \frac{t ^{2}}{2}$ 、 $\frac{u _{xx}}{u} = (1 - t)^{2}$ なので
$\frac{1}{2} \frac{u _{xx}}{u} - x = \frac{1}{2} - t + \frac{t ^{2}}{2} - x = \frac{u _{t}}{u}$ が成り立つ。また $u (0, x) = e^{x}$ も満たす。

答え: $u (t, x) = exp ((1 - t) x + \frac{t}{2} - \frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{3}}{6})$

別解

$X = W_{t} - \int_{0}^{t} W_{s} d s$ とおくと、 $u (t, x) = e^{x - x t} E [e^{X}]$ である。

$\int_{0}^{t} W_{s} d s = \int_{0}^{t} (t - s) d W_{s}$ なので、 $X = \int_{0}^{t} (1 - (t - s)) d W_{s}$ と書ける。したがって $X$ は平均 0 のガウス変数である。

分散は、 $r = t - s$ と置換して
$Var (X) = \int_{0}^{t} (1 - r)^{2} d r = \frac{1 - ( 1 - t ) ^{3}}{3}$
となる。

よって $E [e^{X}] = exp (\frac{1 - ( 1 - t ) ^{3}}{6})$ であり、
$u (t, x) = exp (x (1 - t) + \frac{1 - ( 1 - t ) ^{3}}{6}) = exp (x (1 - t) + \frac{t}{2} - \frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{3}}{6})$
を得る。

検算: $u_{t} = (- x + \frac{( 1 - t ) ^{2}}{2}) u$ である。一方、 $\frac{1}{2} u_{xx} - xu = (\frac{( 1 - t ) ^{2}}{2} - x) u$ なので PDE を満たす。また $t = 0$ のとき $u = e^{x}$ で、初期条件も満たす。

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