確率解析の問題

測度変換。
$$Z_t=\exp \left(-{\int }_0^t{W}_{s}d{W}_s-\frac{1}{2}{\int }_0^t{W}_s^{2}ds\right)$$
とおく。ドリフト $-W_t$ は $W_t$ について線形なので $Z$ は真のマルチンゲールである（たとえば $T=\log 2<\pi /2$ では $E[\exp (\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds)]=(\cos T{)}^{-1/2}<\infty$ なのでノビコフの条件が成り立つ）。$dQ=Z_{T}dP$ で確率測度 $Q$ を定めると、ギルサノフの定理より
$$B_t=W_t+{\int }_0^t{W}_{s}ds(0\le t\le T)$$
は $Q$ のもとで標準ブラウン運動であり、$W$ は $Q$ のもとで $d{W}_t=-W_{t}dt+d{B}_t$, $W_0=0$ を満たすオルンシュタイン・ウーレンベック過程になる。

指数の書き換え。 伊藤の公式より $d(W_t^2)=2W_{t}d{W}_t+dt$ なので ${\int }_0^T{W}_{s}d{W}_s=\frac{W_T^2-T}{2}$。よって
$$\exp \left(-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds\right)=Z_T\exp \left(\frac{W_T^2-T}{2}\right)$$
であり、
$$E\left[W_T^2{e}^{-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds}\right]=e^{-T/2}{E}_Q\left[W_T^2{e}^{W_T^2/2}\right].$$

$Q$ のもとでの $W_T$ の分布。 $d(e^t{W}_t)=e^{t}d{B}_t$ より $W_T={\int }_0^T{e}^{-(T-s)}d{B}_s$ なので、$Q$ のもとで $W_T\sim N(0,{\sigma }^2)$,
$${\sigma }^2={\int }_0^T{e}^{-2(T-s)}ds=\frac{1-e^{-2T}}{2}.$$
$T=\log 2$ では $e^{-2T}=\frac{1}{4}$ より ${\sigma }^2=\frac{3}{8}$。

正規分布の計算。 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$, $2a{\sigma }^2<1$ のとき $E[e^{a{X}^2}]=(1-2a{\sigma }^2{)}^{-1/2}$。両辺を $a$ で微分して $E[X^2{e}^{a{X}^2}]={\sigma }^2(1-2a{\sigma }^2{)}^{-3/2}$。$a=\frac{1}{2}$ とおくと（${\sigma }^2=\frac{3}{8}<1$）
$$E_Q\left[W_T^2{e}^{W_T^2/2}\right]=\frac{3}{8}{\left(\frac{5}{8}\right)}^{-3/2}=\frac{3}{8}\cdot \frac{16\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}.$$

まとめ。 $e^{-T/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので
$$E\left[W_T^2{e}^{-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}=\frac{6}{5\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{25}.$$
（検算: 一般に $E[e^{-a{W}_T^2-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds}]=(\cosh T+2a\sinh T{)}^{-1/2}$ を $a=0$ で微分して符号を変えると $\sinh T(\cosh T{)}^{-3/2}=\frac{3}{4}\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}=\frac{6}{5\sqrt{5}}$ となり一致する。）

伊藤の公式より $W_T^2-T=2{\int }_0^{T}WdW$。Cameron-Martin-Girsanov の変換を使う。測度 $Q$ を $\frac{dQ}{dP}=\exp \left(-{\int }_0^T{W}_{s}d{W}_s-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds\right)=\exp \left(-\frac{W_T^2-T}{2}-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}_s^{2}ds\right)$ で定めると（Novikov 条件は $\frac{1}{2}\int W^2$ の指数可積分性から $T$ が小さい区間に分けて確認できる。この密度は $\mathcal{E}$ が真のマルチンゲール）、$Q$ の下で $W$ は OU 過程 $dW=-Wdt+dB$, $W_0=0$ である。このとき
$$\exp \left(-\frac{1}{2}{\int }_0^T{W}^{2}ds\right)=\frac{dQ}{dP}\exp \left(\frac{W_T^2-T}{2}\right)$$
なので
$$E_P\left[W_T^2{e}^{-\frac{1}{2}\int W^2}\right]=e^{-T/2}{E}_Q\left[W_T^2{e}^{W_T^2/2}\right].$$
$Q$ の下で $W_T\sim N(0,v)$, $v=\frac{1-e^{-2T}}{2}$。$T=\log 2$ では $e^{-2T}=\frac{1}{4}$ より $v=\frac{3}{8}$。
$E_Q[W_T^2{e}^{W_T^2/2}]=\int y^2\frac{1}{\sqrt{2\pi v}}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{v}-1)y^2}dy$。$a=\frac{1}{v}-1=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3}$ とおくと、$\int y^2{e}^{-a{y}^2/2}dy=\sqrt{2\pi }{a}^{-3/2}$ なので値は $a^{-3/2}{v}^{-1/2}={\left(\frac{3}{5}\right)}^{3/2}{\left(\frac{8}{3}\right)}^{1/2}=\sqrt{\frac{27\cdot 8}{125\cdot 3}}=\sqrt{\frac{72}{125}}=\frac{6\sqrt{10}}{25}$。
よって求める値は $2^{-1/2}\cdot \frac{6\sqrt{10}}{25}=\frac{6\sqrt{5}}{25}\approx 0.537$。

検算: 同じ手順で $E[e^{-\frac{1}{2}\int W^2}]=e^{-T/2}(1-v{)}^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{\cosh T}}$ となり、既知の公式 $(\cosh T{)}^{-1/2}$ と一致する。また値 $0.537$ は重みなしの $E[W_T^2]=\log 2\approx 0.693$ より小さく、重み $\le 1$ と整合する。