伊藤過程に対する伊藤の公式と積の公式

伊藤過程 $d X_{t} = a_{t} d t + b_{t} d W_{t}$ に対する $df (X_{t}) = f^{'} (X_{t}) d X_{t} + \frac{1}{2} f^{''} (X_{t}) b_{t}^{2} d t$ と積の公式 $d (X_{t} Y_{t}) = X_{t} d Y_{t} + Y_{t} d X_{t} + d ⟨ X, Y ⟩_{t}$ を使い、伊藤積分 $X_{T} = \int_{0}^{T} b_{s} d W_{s}$ の $E [X_{T}^{4}]$ のような高次モーメントを求められる

前提

伊藤の公式（大学院数学確率解析）
ブラウン運動の二次変分（大学院数学確率解析）

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算数中学高校大学大学院

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伊藤の公式（大学院数学確率解析）
ブラウン運動の二次変分（大学院数学確率解析）

説明

ブラウン運動 $W_{t}$ そのものではなく、 $d X_{t} = a_{t} d t + b_{t} d W_{t}$ のように書ける確率過程（伊藤過程） $X_{t}$ を関数 $f$ に入れたときの微分 $df (X_{t})$ や、2 つの伊藤過程の積 $X_{t} Y_{t}$ の微分を計算できるようになります。とくに伊藤積分 $X_{T} = \int_{0}^{T} b_{s} d W_{s}$ について $X_{T}^{4}$ を伊藤の公式で展開し、 $d W$ の項の期待値が $0$ になることを使うと、 $E [X_{T}^{4}]$ のような高次モーメントを低次のモーメントの積分に帰着させて求められます。

なぜそうしてよいのか

伊藤の公式の要点は、テイラー展開で 2 次の項まで残すことでした。 $X$ が伊藤過程のときも同じで、 $f (X_{t + d t}) - f (X_{t}) = f^{'} (X_{t}) d X_{t} + \frac{1}{2} f^{''} (X_{t}) (d X_{t})^{2} + \dots$ と展開し、計算規則 $d W_{t} d W_{t} = d t$ 、 $d t d W_{t} = 0$ 、 $d t d t = 0$ を使うと
$(d X_{t})^{2} = (a_{t} d t + b_{t} d W_{t})^{2} = b_{t}^{2} d t$
だけが残ります。3 次以上の項は $d t$ より高位の小ささなので消えます。こうして $df (X_{t}) = f^{'} (X_{t}) d X_{t} + \frac{1}{2} f^{''} (X_{t}) b_{t}^{2} d t$ が得られます（ $X = W$ 、 $a = 0$ 、 $b = 1$ とすれば既知の公式に戻ります）。

積の公式も同じ考え方です。 $d Y_{t} = c_{t} d t + e_{t} d W_{t}$ とすると、 $(X + d X) (Y + d Y) - X Y = X d Y + Y d X + d X d Y$ で、最後の項は $d X_{t} d Y_{t} = b_{t} e_{t} d t$ となり消えません。これを $d ⟨ X, Y ⟩_{t} = b_{t} e_{t} d t$ と書きます。実際、 $f (x) = x^{2}$ に伊藤の公式を使った $d (X^{2}) = 2 X d X + b^{2} d t$ を、 $X Y = \frac{1}{4} {(X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}}$ に当てはめても同じ式が出ます。

モーメント計算では、伊藤積分の期待値が $0$ になることが効きます。 $\int_{0}^{T} H_{s} d W_{s}$ は $E \int_{0}^{T} H_{s}^{2} d s < \infty$ のときマルチンゲールで、期待値は $0$ です。したがって $f (X_{T}) = f (0) + \int_{0}^{T} (\dots) d W_{s} + \int_{0}^{T} (\dots) d s$ の期待値をとると $d s$ の部分だけが残ります（期待値と $d s$ 積分の交換はトネリの定理などで正当化します）。この条件を確かめるには $X_{s}$ の高次モーメントが有限であることが必要です。被積分関数 $b_{s}$ が確定的（ランダムでない連続関数）のときは、次の理由で $X_{s}$ は正規分布にしたがうので、これがすぐにわかります。 $b$ を階段関数 $b^{(n)}$ で近似すると $\int_{0}^{s} b_{u}^{(n)} d W_{u} = \sum_{k} b^{(n)} (u_{k}) (W_{u_{k + 1}} - W_{u_{k}})$ は独立な正規確率変数の和なので $N (0, \int_{0}^{s} (b_{u}^{(n)})^{2} d u)$ にしたがいます。伊藤の等長性からこれは $L^{2}$ で $X_{s}$ に収束し、 $∣ e^{i ξ x} - e^{i ξ y} ∣ \leq ∣ ξ ∣∣ x - y ∣$ より特性関数も収束するので、 $E [e^{i ξ X_{s}}] = lim e^{- \frac{1}{2} ξ^{2} \int_{0}^{s} (b^{(n)})^{2} d u} = e^{- \frac{1}{2} ξ^{2} \int_{0}^{s} b_{u}^{2} d u}$ となり、反転公式（特性関数が分布を決めること）から $X_{s} \sim N (0, \int_{0}^{s} b_{u}^{2} d u)$ です。

手順

対象の過程を $d X_{t} = a_{t} d t + b_{t} d W_{t}$ の形に書き、 $a_{t}, b_{t}$ を読み取る（伊藤積分 $X_{t} = \int_{0}^{t} b_{s} d W_{s}$ なら $a_{t} = 0$ ）
伊藤の公式 $df (X_{t}) = f^{'} (X_{t}) d X_{t} + \frac{1}{2} f^{''} (X_{t}) b_{t}^{2} d t$ を当てはめる（積なら $d (X_{t} Y_{t}) = X_{t} d Y_{t} + Y_{t} d X_{t} + b_{t} e_{t} d t$ ）
$0$ から $T$ まで積分し、 $d W$ の項（伊藤積分）と $d t$ の項に分ける
$d W$ の項の被積分関数 $H_{s}$ が $E \int_{0}^{T} H_{s}^{2} d s < \infty$ を満たすことを確かめ（ $b$ が確定的なら $X_{s}$ が正規分布にしたがうことからモーメントの有限性がわかる）、その期待値を $0$ とする
残った $d t$ の項で期待値と積分を交換し、低次のモーメント（例: 伊藤の等長性 $E [X_{t}^{2}] = \int_{0}^{t} E [b_{s}^{2}] d s$ ）を代入して計算する

例題

$W$ を $W_{0} = 0$ の標準ブラウン運動とし、 $X_{t} = \int_{0}^{t} s d W_{s}$ とおく。 $E [X_{2}^{4}]$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $d X_{t} = t d W_{t}$ なので $a_{t} = 0, b_{t} = t$ 。

【手順 2】 $f (x) = x^{4}$ とすると $f^{'} (x) = 4 x^{3}, f^{''} (x) = 12 x^{2}$ なので
$d (X_{t}^{4}) = 4 X_{t}^{3} d X_{t} + \frac{1}{2} \cdot 12 X_{t}^{2} \cdot t^{2} d t = 4 t X_{t}^{3} d W_{t} + 6 t^{2} X_{t}^{2} d t .$

【手順 3】 $X_{0} = 0$ より $X_{2}^{4} = \int_{0}^{2} 4 s X_{s}^{3} d W_{s} + \int_{0}^{2} 6 s^{2} X_{s}^{2} d s$ 。

【手順 4】第 1 項の被積分関数 $H_{s} = 4 s X_{s}^{3}$ について $E \int_{0}^{2} H_{s}^{2} d s < \infty$ を確かめる。被積分関数 $b_{u} = u$ は確定的な連続関数なので、「考え方」で述べたとおり（階段関数で近似した和が正規分布で、その $L^{2}$ 極限の特性関数も正規分布のものになるので） $X_{s} \sim N (0, σ_{s}^{2})$ 、 $σ_{s}^{2} = \int_{0}^{s} u^{2} d u = \frac{s ^{3}}{3}$ である。平均 $0$ の正規分布の 6 次の積率は $15 σ^{6}$ なので $E [X_{s}^{6}] = 15 (\frac{s ^{3}}{3})^{3} \leq 15 (\frac{8}{3})^{3}$ （ $0 \leq s \leq 2$ ）。よって $E \int_{0}^{2} 16 s^{2} X_{s}^{6} d s < \infty$ で、第 1 項は期待値 $0$ の伊藤積分である。

【手順 5】伊藤の等長性より $E [X_{s}^{2}] = \int_{0}^{s} u^{2} d u = \frac{s ^{3}}{3}$ 。被積分関数は非負なのでトネリの定理で期待値と積分を交換して
$E [X_{2}^{4}] = \int_{0}^{2} 6 s^{2} \cdot \frac{s ^{3}}{3} d s = \int_{0}^{2} 2 s^{5} d s = \frac{2 ^{6}}{3} = \frac{64}{3} .$
（検算: 手順 4 で見たとおり $X_{2} \sim N (0, \frac{8}{3})$ なので、正規分布の 4 次の積率 $3 σ^{4}$ から $E [X_{2}^{4}] = 3 \cdot (\frac{8}{3})^{2} = \frac{64}{3}$ となり一致する。）

答え: $\frac{64}{3}$

よくある誤り

$X_{t} = \int_{0}^{t} b_{s} d W_{s}$ に対して $d (X_{t}^{2}) = 2 X_{t} d X_{t} + d t$ としてしまう誤り。2 次の項は $(d X_{t})^{2} = b_{t}^{2} d t$ なので、正しくは $d (X_{t}^{2}) = 2 X_{t} d X_{t} + b_{t}^{2} d t$ 。
積の公式で $d (X_{t} Y_{t}) = X_{t} d Y_{t} + Y_{t} d X_{t}$ と通常の積の微分だけを書いてしまう誤り。 $d X_{t} d Y_{t} = b_{t} e_{t} d t$ は消えないので、正しくは $d (X_{t} Y_{t}) = X_{t} d Y_{t} + Y_{t} d X_{t} + b_{t} e_{t} d t$ （例: $d (W_{t} \cdot W_{t}) = 2 W_{t} d W_{t} + d t$ ）。
$(d X_{t})^{2}$ を計算するときに $a_{t} d t$ の寄与を残して $(d X_{t})^{2} = (a_{t}^{2} + b_{t}^{2}) d t$ としてしまう誤り。 $d t d t = 0$ 、 $d t d W_{t} = 0$ なので、正しくは $(d X_{t})^{2} = b_{t}^{2} d t$ 。
$E [\int_{0}^{T} 4 X_{s}^{3} b_{s} d W_{s}] = 0$ を条件を確かめずに使ってしまう誤り。正しくは $E \int_{0}^{T} 16 X_{s}^{6} b_{s}^{2} d s < \infty$ のように被積分関数が 2 乗可積分であることを（たとえば $b$ が確定的なら $X_{s}$ の正規性から $E [X_{s}^{6}]$ が有界であることを使って）確かめてから、伊藤積分の期待値を $0$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_{t})_{t \geq 0}$ は確率微分方程式
$d X_{t} = X_{t} d t + 2 X_{t} d W_{t}, X_{0} = 3$
の解とする。 $T = lo g 2$ のとき、分散 $V (X_{T})$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブラウン運動の二次汎関数の期待値（カメロン・マルティンの公式）（大学院数学確率解析）