ブラウン運動の二次汎関数の期待値（カメロン・マルティンの公式）

ギルサノフの定理で線形ドリフト $- λ X_{t}$ の OU 過程に測度を変換し、 $E [exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)] = (cosh λ T)^{- 1/2}$ や、 $W_{T}^{2}$ をかけた期待値を求められる

前提

ギルサノフの定理（大学院数学確率解析）
確率微分方程式（幾何ブラウン運動・OU 過程）（大学院数学確率解析）
伊藤過程に対する伊藤の公式と積の公式（大学院数学確率解析）

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算数中学高校大学大学院

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ガウス積分（大学数学微分積分）
正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）
中心極限定理の使い方（大学数学確率・統計）
中心極限定理（特性関数による）（大学院数学確率論）
ブラウン運動（大学院数学確率論）
σ 加法族に関する条件付き期待値（大学院数学確率論）
マルチンゲール（大学院数学確率論）
伊藤積分と伊藤の等長性（大学院数学確率解析）
伊藤の公式（大学院数学確率解析）
ギルサノフの定理（大学院数学確率解析）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
確率微分方程式（幾何ブラウン運動・OU 過程）（大学院数学確率解析）
ブラウン運動の二次変分（大学院数学確率解析）
伊藤過程に対する伊藤の公式と積の公式（大学院数学確率解析）

説明

ブラウン運動 $W$ （ $W_{0} = 0$ ）の 2 乗の時間積分を指数に含む期待値 $E [exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)]$ （ $λ > 0$ ）を、閉じた式 $(cosh λ T)^{- 1/2}$ として求めます。ギルサノフの定理で測度を取り替え、 $W$ を線形ドリフト $- λ W_{t}$ をもつ OU 過程とみなすと、扱いにくい $\int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s$ が消えて、正規分布にしたがう $W_{T}$ の 2 次式の期待値（ガウス積分）に帰着します。同じ方法で $E [W_{T}^{2} exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)]$ のような量も計算できます。

なぜそうしてよいのか

ギルサノフの定理で、ドリフト $θ_{t} = - λ W_{t}$ を入れる密度 $Z_{T} = exp (\int_{0}^{T} θ_{s} d W_{s} - \frac{1}{2} \int_{0}^{T} θ_{s}^{2} d s) = exp (- λ \int_{0}^{T} W_{s} d W_{s} - \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)$ を考えます。ちょうど求めたい $exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)$ が現れるのがポイントです。さらに伊藤の公式 $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t} + d t$ から $\int_{0}^{T} W_{s} d W_{s} = \frac{W _{T}^{2} - T}{2}$ なので
$Z_{T} = exp (- \frac{λ}{2} (W_{T}^{2} - T) - \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)$
となり、伊藤積分も消えます。 $Z_{t}$ （ $T$ を $t$ に置きかえたもの）は確率指数として正の局所マルチンゲールで、 $λ > 0$ なら $0 < Z_{t} \leq e^{λ t /2} \leq e^{λ T /2}$ と有界なので、 $[0, T]$ 上の本当のマルチンゲールで $E [Z_{T}] = 1$ です。よって $d Q = Z_{T} d P$ は確率測度で、ギルサノフの定理により $W_{t} = W_{t} + λ \int_{0}^{t} W_{s} d s$ は $Q$ のもとでブラウン運動です。（符号を逆にした $θ_{t} = + λ W_{t}$ でも同じ答えが出ますが、そのときは密度が有界でないので、マルチンゲールであることを別に確かめる必要があります。 $θ_{t} = - λ W_{t}$ を選ぶと有界性からこれが自明になるのが利点です。）

言いかえると、 $Q$ のもとで $d W_{t} = - λ W_{t} d t + d W_{t}$ 、 $W_{0} = 0$ という OU 過程です。その解は $W_{t} = \int_{0}^{t} e^{- λ (t - s)} d W_{s}$ なので、 $W_{T}$ は $Q$ のもとで平均 $0$ 、分散 $σ^{2} = \int_{0}^{T} e^{- 2 λ (T - s)} d s = \frac{1 - e ^{- 2 λ T}}{2 λ}$ の正規分布です。一方
$exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s) = Z_{T} e^{λ (W_{T}^{2} - T) /2}$
なので、 $E_{P} [exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)] = e^{- λ T /2} E_{Q} [e^{λ W_{T}^{2} /2}]$ です。

最後はガウス積分です。 $Y \sim N (0, σ^{2})$ 、 $2 c σ^{2} < 1$ のとき $E [e^{c Y^{2}}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( 1 - 2 c σ ^{2} ) y ^{2}}{2 σ ^{2}}} d y = (1 - 2 c σ^{2})^{- 1/2}$ 。 $c = \frac{λ}{2}$ では $1 - λ σ^{2} = \frac{1 + e ^{- 2 λ T}}{2} > 0$ で条件を満たし、 $e^{- λ T /2} (\frac{1 + e ^{- 2 λ T}}{2})^{- 1/2} = (\frac{e ^{λ T} + e ^{- λ T}}{2})^{- 1/2} = (cosh λ T)^{- 1/2}$ が得られます。同じ積分で、被積分関数 $\frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( 1 - 2 c σ ^{2} ) y ^{2}}{2 σ ^{2}}}$ は「 $(1 - 2 c σ^{2})^{- 1/2}$ 倍した、分散 $τ^{2} = \frac{σ ^{2}}{1 - 2 c σ ^{2}}$ の正規分布の密度」なので、 $E [Y^{2} e^{c Y^{2}}] = (1 - 2 c σ^{2})^{- 1/2} τ^{2} = σ^{2} (1 - 2 c σ^{2})^{- 3/2}$ です。これを使うと、 $E_{P} [W_{T}^{2} exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)] = e^{- λ T /2} σ^{2} (1 - λ σ^{2})^{- 3/2} = \frac{t a n h λ T}{λ c o s h λ T}$ です（ $σ^{2} = \frac{e ^{- λ T} s i n h λ T}{λ}$ 、 $1 - λ σ^{2} = e^{- λ T} cosh λ T$ を代入）。

手順

指数の係数を $- \frac{λ ^{2}}{2}$ （ $λ > 0$ ）の形に読み、 $λ$ を決める
密度 $Z_{T} = exp (- \frac{λ}{2} (W_{T}^{2} - T) - \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)$ で $d Q = Z_{T} d P$ とおく（ $\int_{0}^{T} W_{s} d W_{s} = \frac{W _{T}^{2} - T}{2}$ を使う。 $Z_{t} \leq e^{λ T /2}$ なのでマルチンゲール）
求める期待値を $E_{P} [\dots] = e^{- λ T /2} E_{Q} [e^{λ W_{T}^{2} /2} \dots]$ と書き直す
$Q$ のもとで $W$ は $d W_{t} = - λ W_{t} d t + d W_{t}$ の OU 過程なので、 $W_{T} \sim N (0, σ^{2})$ 、 $σ^{2} = \frac{1 - e ^{- 2 λ T}}{2 λ}$
ガウス積分 $E [e^{c Y^{2}}] = (1 - 2 c σ^{2})^{- 1/2}$ 、 $E [Y^{2} e^{c Y^{2}}] = σ^{2} (1 - 2 c σ^{2})^{- 3/2}$ （ $2 c σ^{2} < 1$ ）などで計算し、 $(cosh λ T)^{- 1/2}$ の形に整理する

例題

$W$ を $W_{0} = 0$ の標準ブラウン運動とし、 $T = \frac{1}{2} lo g 3$ とする。 $E [exp (- 2 \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)]$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $\frac{λ ^{2}}{2} = 2$ 、 $λ > 0$ より $λ = 2$ 。このとき $λ T = lo g 3$ 。

【手順 2】 $Z_{T} = exp (- (W_{T}^{2} - T) - 2 \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s)$ 、 $d Q = Z_{T} d P$ とおく。 $Z_{t} \leq e^{t} \leq e^{T}$ で有界なのでマルチンゲールであり、 $Q$ は確率測度。

【手順 3】 $exp (- 2 \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s) = Z_{T} e^{W_{T}^{2} - T}$ より、求める値は $e^{- T} E_{Q} [e^{W_{T}^{2}}]$ 。 $e^{- T} = e^{- \frac{1}{2} l o g 3} = \frac{1}{3}$ 。

【手順 4】 $Q$ のもとで $W$ は $d W_{t} = - 2 W_{t} d t + d W_{t}$ の OU 過程で、 $W_{T} \sim N (0, σ^{2})$ 、 $σ^{2} = \frac{1 - e ^{- 4 T}}{4} = \frac{1 - \frac{1}{9}}{4} = \frac{2}{9}$ 。

【手順 5】 $c = 1$ で $2 c σ^{2} = \frac{4}{9} < 1$ なので $E_{Q} [e^{W_{T}^{2}}] = (1 - \frac{4}{9})^{- 1/2} = \frac{3}{5}$ 。よって求める値は $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5} = \frac{15}{5}$ 。
（検算: $cosh (lo g 3) = \frac{3 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{5}{3}$ なので $(cosh λ T)^{- 1/2} = \frac{3}{5}$ と一致する。また被積分関数は $1$ 以下なので答えが $1$ 以下であることとも合う。）

答え: $\frac{15}{5}$

よくある誤り

$\int_{0}^{T} W_{s} d W_{s} = \frac{W _{T}^{2}}{2}$ と通常の微積分のように計算してしまう誤り。伊藤の公式 $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t} + d t$ により、正しくは $\int_{0}^{T} W_{s} d W_{s} = \frac{W _{T}^{2} - T}{2}$ 。 $- T$ を落とすと因子 $e^{- λ T /2}$ が抜け、答えが $(cosh λ T)^{- 1/2}$ にならない。
$Q$ のもとでも $W_{T} \sim N (0, T)$ のままとしてしまう誤り。 $Q$ のもとで $W$ は OU 過程なので、正しくは $W_{T} \sim N (0, \frac{1 - e ^{- 2 λ T}}{2 λ})$ 。
$E [e^{c Y^{2}}]$ （ $Y \sim N (0, σ^{2})$ ）を積率母関数と混同して $e^{c^{2} σ^{2} /2}$ や $e^{c σ^{2}}$ としてしまう誤り。 $Y^{2}$ の指数なのでガウス積分で計算し、正しくは $2 c σ^{2} < 1$ のもとで $(1 - 2 c σ^{2})^{- 1/2}$ 。
$Z_{T}$ を解いて書き直すときに符号を取り違え、 $exp (- \frac{λ ^{2}}{2} \int_{0}^{T} W_{s}^{2} d s) = Z_{T} e^{λ W_{T}^{2} /2} e^{+ λ T /2}$ として因子 $e^{- λ T /2}$ を $e^{λ T /2}$ にしてしまう誤り。すると答えが $e^{λ T} (cosh λ T)^{- 1/2}$ （上の例では $3 \frac{3}{5} > 1$ ）となり、被積分関数が $1$ 以下なのに期待値が $1$ を超えるという矛盾が出る。正しくは $Z_{T}$ の指数の $- \frac{λ}{2} (W_{T}^{2} - T)$ を移項して $e^{\frac{λ}{2} (W_{T}^{2} - T)} = e^{λ W_{T}^{2} /2} e^{- λ T /2}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の $W_{0} = 0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし， $(F_{t})_{t \geq 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。期待値
$E [exp (- W_{1}^{2} - 2 \int_{0}^{1} W_{s}^{2} d s)]$
を求めよ。ただし，
$Z_{t} = exp (- 2 \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} - 2 \int_{0}^{t} W_{s}^{2} d s) (0 \leq t \leq 1)$
が $(F_{t})$ -マルチンゲールであること（したがって $d Q = Z_{1} d P$ でギルサノフの定理が使えること）は用いてよい。

ブラウン運動の二次汎関数の期待値（カメロン・マルティンの公式）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題