ブラウン運動の二次変分

分割を細かくしたときの $\sum (W_{t_{k + 1}} - W_{t_{k}})^{2}$ の極限 $[W]_{t} = t$ を、期待値と分散の計算から確かめられる。また $d W_{t} d W_{t} = d t$ , $d t d W_{t} = 0$ の計算規則を使える

前提

ブラウン運動（大学院数学確率論）

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算数中学高校大学大学院

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ブラウン運動（大学院数学確率論）

説明

区間 $[0, t]$ を $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = t$ と分割し、ブラウン運動 $W$ の増分の 2 乗和 $Q_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (W_{t_{k + 1}} - W_{t_{k}})^{2}$ を考えると、分割の幅を 0 に近づけたとき $Q_{n}$ は（ランダムなのに）定数 $t$ に収束します。この極限 $[W]_{t} = t$ をブラウン運動の二次変分といいます。この事実を期待値と分散の計算だけで確かめられるようになり、さらにそれを短く書いた計算規則 $d W_{t} d W_{t} = d t$ , $d t d W_{t} = 0$ , $d t d t = 0$ を、増分の 2 次までを含む和（ $W_{t}^{2}$ のような関数の変化を分割で足し上げたものなど）の扱いで使えるようになります。

なぜそうしてよいのか

増分 $Δ_{k} = W_{t_{k + 1}} - W_{t_{k}}$ は平均 0、分散 $δ_{k} = t_{k + 1} - t_{k}$ の正規分布に従い、 $k$ が違えば互いに独立です（独立定常増分）。したがって $E [Δ_{k}^{2}] = δ_{k}$ で、 $E [Q_{n}] = \sum δ_{k} = t$ は分割によらずちょうど $t$ です。次に、平均 0・分散 $σ^{2}$ の正規分布の 4 次の積率は $3 σ^{4}$ なので $V [Δ_{k}^{2}] = E [Δ_{k}^{4}] - (E [Δ_{k}^{2}])^{2} = 3 δ_{k}^{2} - δ_{k}^{2} = 2 δ_{k}^{2}$ 。 $Δ_{k}^{2}$ たちも独立なので分散は足し算になり
$E [(Q_{n} - t)^{2}] = V [Q_{n}] = 2 k \sum δ_{k}^{2} \leq 2 (k max δ_{k}) k \sum δ_{k} = 2 t k max δ_{k}$
です。分割の最大幅 $max_{k} δ_{k} \to 0$ のときこれは 0 に近づくので、 $Q_{n}$ は平均 2 乗の意味で $t$ に収束します（チェビシェフの不等式より確率収束もします）。

直観的には、1 つ 1 つの $Δ_{k}^{2}$ は大きさ $δ_{k}$ 程度でばらつきますが、独立なものをたくさん足すと大数の法則のようにばらつきが打ち消し合い、平均値 $t$ だけが残る、ということです。滑らかな関数 $f$ なら $∣Δ f ∣ \approx ∣ f^{'} ∣ δ_{k}$ なので $\sum (Δ f)^{2} \approx \sum f^{'2} δ_{k}^{2} \to 0$ ですが、ブラウン運動の増分は $δ_{k}$ 程度と大きいので 2 乗和が $δ_{k}$ の和として生き残ります。

これを微小量の規則として書いたのが $d W_{t} d W_{t} = d t$ です。同様に $\sum_{k} δ_{k} Δ_{k}$ は平均 0、分散 $\sum δ_{k}^{3} \leq (max δ_{k})^{2} t \to 0$ なので $d t d W_{t} = 0$ 、 $\sum δ_{k}^{2} \leq t max δ_{k} \to 0$ なので $d t d t = 0$ です。これらは「分割を細かくした極限で和がどうなるか」を表す略記で、 $d W_{t}$ や $d t$ 自体が数として存在するわけではありません。たとえば $W_{t_{k + 1}}^{2} - W_{t_{k}}^{2} = (W_{t_{k}} + Δ_{k})^{2} - W_{t_{k}}^{2} = 2 W_{t_{k}} Δ_{k} + Δ_{k}^{2}$ を $k$ について足し上げると、厳密な等式
$W_{t}^{2} = k \sum 2 W_{t_{k}} Δ_{k} + Q_{n} (W_{0} = 0)$
が得られます。 $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t} + d t$ という書き方は、この等式で分割を細かくしたとき第 2 の和 $Q_{n}$ が $t$ に近づくことを、増分 1 つ分の形で書いた略記です（ $2 W_{t} d W_{t}$ は和 $\sum_{k} 2 W_{t_{k}} Δ_{k}$ を指す記号で、ここではそれ以上の意味は持たせません）。

手順

分割 $0 = t_{0} < \dots < t_{n} = t$ をとり、増分 $Δ_{k} = W_{t_{k + 1}} - W_{t_{k}}$ が独立で $N (0, δ_{k})$ （ $δ_{k} = t_{k + 1} - t_{k}$ ）に従うことを確認する
期待値を計算する: $E [Δ_{k}^{2}] = δ_{k}$ より $E [Q_{n}] = \sum_{k} δ_{k} = t$
分散を計算する: $E [Δ_{k}^{4}] = 3 δ_{k}^{2}$ から $V [Δ_{k}^{2}] = 2 δ_{k}^{2}$ 、独立性より $V [Q_{n}] = 2 \sum_{k} δ_{k}^{2}$
$max_{k} δ_{k} \to 0$ で $E [(Q_{n} - t)^{2}] = V [Q_{n}] \leq 2 t max_{k} δ_{k} \to 0$ を示し、 $[W]_{t} = t$ と結論する（等分割なら $V [Q_{n}] = \frac{2 t ^{2}}{n}$ ）
増分の 2 次までを含む和では $d W_{t} d W_{t} = d t$ , $d t d W_{t} = 0$ , $d t d t = 0$ と置き換える。これは数の等式ではなく、分割の和の極限の略記である。例: 各区間で $W_{t_{k + 1}}^{2} - W_{t_{k}}^{2} = 2 W_{t_{k}} Δ_{k} + Δ_{k}^{2}$ を足し上げた $W_{t}^{2} = \sum_{k} 2 W_{t_{k}} Δ_{k} + \sum_{k} Δ_{k}^{2}$ で $\sum_{k} Δ_{k}^{2} \to t$ となることを、 $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t} + (d W_{t})^{2} = 2 W_{t} d W_{t} + d t$ と書く

例題

$W$ を標準ブラウン運動（ $W_{0} = 0$ ）とする。区間 $[0, 2]$ を $n$ 等分した分点 $t_{k} = \frac{2 k}{n}$ （ $k = 0, 1, \dots, n$ ）に対して $Q_{n} = k = 0 \sum n - 1 (W_{t_{k + 1}} - W_{t_{k}})^{2}$ とおく。 $E [(Q_{n} - 2)^{2}]$ を $n$ の式で求めよ。

例題の解答

手順 1: 各増分 $Δ_{k} = W_{t_{k + 1}} - W_{t_{k}}$ は幅 $δ_{k} = \frac{2}{n}$ の区間の増分なので $N (0, \frac{2}{n})$ に従い、 $Δ_{0}, \dots, Δ_{n - 1}$ は互いに独立である。

手順 2: $E [Δ_{k}^{2}] = V [Δ_{k}] = \frac{2}{n}$ なので $E [Q_{n}] = n \cdot \frac{2}{n} = 2$ 。したがって $E [(Q_{n} - 2)^{2}] = V [Q_{n}]$ である。

手順 3: 平均 0、分散 $σ^{2}$ の正規分布の 4 次の積率は $3 σ^{4}$ なので $E [Δ_{k}^{4}] = 3 \cdot \frac{4}{n ^{2}} = \frac{12}{n ^{2}}$ 。よって
$V [Δ_{k}^{2}] = E [Δ_{k}^{4}] - (E [Δ_{k}^{2}])^{2} = \frac{12}{n ^{2}} - \frac{4}{n ^{2}} = \frac{8}{n ^{2}} .$
$Δ_{k}^{2}$ （ $k = 0, \dots, n - 1$ ）は独立なので、和の分散は分散の和になり
$V [Q_{n}] = n \cdot \frac{8}{n ^{2}} = \frac{8}{n} .$

手順 4: よって $E [(Q_{n} - 2)^{2}] = \frac{8}{n}$ 。これは $n \to \infty$ で 0 に収束するので、 $Q_{n} \to 2 = [W]_{2}$ （平均 2 乗収束）が確かめられる。一般式 $V [Q_{n}] = \frac{2 t ^{2}}{n}$ に $t = 2$ を代入した値とも一致する。

答え: $\frac{8}{n}$

よくある誤り

増分の 2 乗の分散を $V [Δ_{k}^{2}] = (V [Δ_{k}])^{2} = δ_{k}^{2}$ や $3 δ_{k}^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $V [Δ_{k}^{2}] = E [Δ_{k}^{4}] - (E [Δ_{k}^{2}])^{2} = 3 δ_{k}^{2} - δ_{k}^{2} = 2 δ_{k}^{2}$
$W_{t_{k}}$ どうしが独立だと考えて $V [Q_{n}]$ を計算したり、 $\sum_{k} W_{t_{k}}^{2}$ と増分の 2 乗和を取り違えたりする誤り。独立なのは重ならない区間の増分 $Δ_{k}$ であり、 $W_{s}$ と $W_{t}$ は共分散 $min (s, t)$ をもつ。正しくは増分 $Δ_{k}$ の独立性を使って $V [Q_{n}] = 2 \sum_{k} δ_{k}^{2}$
滑らかな関数と同じように増分の 2 乗の和は消えると考え、 $(d W_{t})^{2} = 0$ 、つまり $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t}$ としてしまう誤り。分割の和で書くと $W_{t}^{2} = \sum_{k} 2 W_{t_{k}} Δ_{k} + Q_{n}$ である。 $W_{t_{k}} = W_{t_{k}} - W_{0}$ は区間 $[0, t_{k}]$ の増分なので $Δ_{k}$ と独立で、 $E [W_{t_{k}} Δ_{k}] = E [W_{t_{k}}] E [Δ_{k}] = 0$ 。よって $E [\sum_{k} 2 W_{t_{k}} Δ_{k}] = 0$ であり、 $Q_{n}$ を落とすと右辺の平均は $0$ となって $E [W_{t}^{2}] = t$ と合わない。正しくは $Q_{n}$ の寄与を残して $E [W_{t}^{2}] = 0 + E [Q_{n}] = 0 + t$ となり、略記では $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t} + d t$
規則を $d W_{t} = d t$ のように増分そのものの等式と読んでしまう誤り。 $Q_{n} \to t$ は 2 乗の和についての極限で、各増分は符号もばらつきもある確率変数（ $E [Δ_{k}] = 0$ ）。 $d W_{t} d W_{t} = d t$ , $d t d W_{t} = 0$ は分割を細かくした極限での和 $\sum Δ_{k}^{2} \to t$ , $\sum δ_{k} Δ_{k} \to 0$ を表す略記である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$(W_{t})_{t \geq 0}$ を確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の、 $W_{0} = 0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_{t})_{t \geq 0}$ は確率微分方程式
$d X_{t} = 2 X_{t} d t + X_{t} d W_{t}, X_{0} = 1$
の解とする。 $T = lo g 2$ のとき、分散 $V (X_{T})$ の値を求めよ。

この技能の次に学べること

伊藤過程に対する伊藤の公式と積の公式（大学院数学確率解析）