確率解析の問題

求める期待値を $J$ とおく。ギルサノフの定理で、$B$ がオルンシュタイン・ウーレンベック過程になる確率測度に取り替える。

測度変換. $({\mathcal{F}}_t)$ を $B$ の生成するフィルトレーションとし、
$$Z_t=\exp \left(-{\int }_0^t{B}_{s}d{B}_s-\frac{1}{2}{\int }_0^t{B}_s^{2}ds\right)$$
とおく。これは線形ドリフト $-B_t$ に対応する確率指数であり、真のマルチンゲールである（たとえば $t\le T<\pi /2$ ではノビコフ条件 $E[\exp (\frac{1}{2}{\int }_0^T{B}_s^{2}ds)]=(\cos T{)}^{-1/2}<\infty$ が成り立つ。$T=\log 2\approx 0.69<\pi /2$）。$dQ=Z_{T}dP$ で ${\mathcal{F}}_T$ 上の確率測度 $Q$ を定めると、ギルサノフの定理より
$$W_t=B_t+{\int }_0^t{B}_{s}ds(0\le t\le T)$$
は $Q$ のもとで標準ブラウン運動であり、$B$ は $Q$ のもとで $d{B}_t=-B_{t}dt+d{W}_t$, $B_0=0$ を満たすオルンシュタイン・ウーレンベック過程である。

被積分量の書き換え. $Z_T>0$ なので $dP=Z_T^{-1}dQ$ であり、
$$Z_T^{-1}=\exp \left({\int }_0^T{B}_{s}d{B}_s+\frac{1}{2}{\int }_0^T{B}_s^{2}ds\right).$$
伊藤の公式 $d(B_t^2)=2B_{t}d{B}_t+dt$ より ${\int }_0^T{B}_{s}d{B}_s=\frac{B_T^2-T}{2}$（これは確率積分の経路ごとの等式なので $Q$ のもとでも成り立つ）。よって
$$J=E_Q\left[\exp \left(\frac{1}{2}{B}_T^2-\frac{1}{2}{\int }_0^T{B}_t^{2}dt\right)Z_T^{-1}\right]=E_Q\left[\exp \left(\frac{1}{2}{B}_T^2+\frac{B_T^2-T}{2}\right)\right]=e^{-T/2}{E}_Q\left[e^{B_T^2}\right].$$

$Q$ のもとでの分布. $B_T={\int }_0^T{e}^{-(T-s)}d{W}_s$ なので、$Q$ のもとで $B_T$ は平均 $0$、分散
$${\sigma }^2={\int }_0^T{e}^{-2(T-s)}ds=\frac{1-e^{-2T}}{2}=\frac{1-\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$$
の正規分布に従う。$X\sim N(0,{\sigma }^2)$ に対して $2{\sigma }^2<1$ なら
$$E[e^{X^2}]={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-x^2\left(\frac{1}{2{\sigma }^2}-1\right)}dx=\frac{1}{\sqrt{1-2{\sigma }^2}}$$
である。$1-2{\sigma }^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ より $E_Q[e^{B_T^2}]=2$。

したがって $e^{-T/2}=2^{-1/2}$ と合わせて
$$J=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$$

ファインマン・カッツの公式による確認. $u(t,x)=E\left[\exp \left(\frac{1}{2}(x+B_{T-t}{)}^2-\frac{1}{2}{\int }_0^{T-t}(x+B_s{)}^{2}ds\right)\right]$ は
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{1}{2}{x}^{2}u=0,u(T,x)=e^{x^2/2}$$
の解である。$u=\exp (A(t)x^2+C(t))$ とおくと $A^{\prime }+2A^2-\frac{1}{2}=0$, $C^{\prime }+A=0$ となり、$A(T)=\frac{1}{2}$ から $A\equiv \frac{1}{2}$、$C(T)=0$ から $C(t)=\frac{T-t}{2}$。よって $J=u(0,0)=e^{T/2}=\sqrt{2}$ で一致する。

伊藤の公式より $B_T^2=2{\int }_0^T{B}_{t}d{B}_t+T$ なので $\frac{1}{2}{B}_T^2={\int }_0^T{B}_{t}d{B}_t+\frac{T}{2}$。よって求める期待値は $e^{T/2}E\left[\exp \left({\int }_0^T{B}_{t}d{B}_t-\frac{1}{2}{\int }_0^T{B}_t^{2}dt\right)\right]$。

$Z_t=\exp \left({\int }_0^t{B}_{s}d{B}_s-\frac{1}{2}{\int }_0^t{B}_s^{2}ds\right)$ は、ドリフト $b(t,x)=x$ に対するギルサノフ密度である。ドリフトが線形増大なので、ベネシュの条件により $Z$ は真のマルチンゲールで $E[Z_T]=1$（$E[Z_0]=1$）。

したがって期待値は $e^{T/2}=e^{(\log 2)/2}=\sqrt{2}$。

検算: 既知の公式 $E\left[\exp \left(-\frac{b}{2}{B}_T^2-\frac{a^2}{2}{\int }_0^T{B}_t^{2}dt\right)\right]={\left(\cosh aT+\frac{b}{a}\sinh aT\right)}^{-1/2}$ に $a=1,b=-1$ を代入すると $(\cosh T-\sinh T{)}^{-1/2}=(e^{-T}{)}^{-1/2}=e^{T/2}=\sqrt{2}$。一致する。