三角関数の積分

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

$2\pi$ 周期関数 $f(x)=|\sin x|$ の $[-\pi ,\pi ]$ におけるフーリエ級数を求め、パーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中で基底状態
$${\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}(0<x<L),{\psi }_1(x)=0(\text{それ以外})$$
にある。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (|x|\leqq \pi )\\ 0& (|x|>\pi )\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$f(x)$ は実数全体で連続かつ区分的に滑らかなので、すべての実数 $x$ で反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
が成り立つ（右辺の積分は収束する）ことを用いてよい。

まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\sin (\pi \omega )\sin \frac{\pi \omega }{3}}{1-{\omega }^2}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =1$ で連続になるように値を定めるものとする。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^3}{x^3}\left(\frac{x}{n}-\sin \frac{x}{n}\right)\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

因果的な連続時間の線形時不変系がある。初期状態は $0$ とする。$t$ は時刻を表す実数で、信号はすべて無次元量とする。

この系に単位ステップ関数
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
を入力すると、出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left(1-e^{-t}\cos t\right)u(t)$$
となった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-2t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
の値を求めよ。

$0\leqq x\leqq \pi$ において、曲線 $y=\sin x$ と直線 $y=\frac{1}{2}$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{3}$ の範囲において、2 曲線 $y=\sin 2x$ と $y=\sin x$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

曲線 $y=\sqrt{x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

整数 $n$ と実数 $x$ に対し，第 1 種ベッセル関数 $J_n(x)$ を母関数展開
$$\exp \left(\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)t^n(t\ne 0)$$
で定める（$J_n(x)$ は実数値であり，この級数は $t\ne 0$ で絶対収束する）。実数 $x$ に対し
$$S(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{n}^4{J}_n(x{)}^2$$
とおく。この級数は収束する。$S(x)$ を $x$ の式で表せ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(\frac{\log \left(1+n^x\right)}{\log n}\right)}^2\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するもの、$\log$ は自然対数）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega (\omega ,x\text{ は実数})$$
で定める。関数
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}+\frac{1}{x^2-2x+2}$$
について、まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。フーリエ係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

$a$ を整数でない実数とする。次の事実は用いてよい。

（事実）$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ の連続関数で、区間 $[-\pi ,\pi ]$ を有限個の閉区間に分けると各閉区間上で $C^1$ 級（端点では片側微分係数を考える）であるとき、$F$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\sin nxdx$$
はすべての $x\in \mathbb{R}$ で $F(x)$ に収束する。

このとき、関数 $x\mapsto \cos ax$ $(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ級数を用いて、級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$ が収束し、
$$\pi \cot \pi a=\frac{1}{a}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$$
が成り立つことを証明せよ。

$0\leqq x\leqq \pi$ の範囲で、2 曲線 $y=\sin x$ と $y=\sin 2x$ ではさまれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させるとき、$D$ が通過する点全体がつくる立体を $K$ とする。$D$ の一部は $x$ 軸の下側にあるので、$x$ 軸の上側の部分と下側の部分が回転して重なるところがあるが、重なった部分は $K$ の中で 1 回だけ数える（$K$ はそれぞれの部分を回転させてできる立体の和集合である）。$K$ の体積 $V$ を求めよ。