光源の広がりと縞の可視度

広がった光源の各点がつくる縞の強度をインコヒーレントに足し合わせ（積分し）、干渉縞の可視度 $V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}}$ を求められる

前提

2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）
三角関数の積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の積分（数学III 積分法）

説明

実際の光源は点ではなく大きさをもちます。光源の各点から出た光は互いに位相の関係がでたらめ（インコヒーレント）なので、各点がつくる干渉縞は「強度」で足し合わされ、少しずつずれた縞が重なって縞がぼやけます。この技能では、光源の各点がつくる縞の強度を足し合わせ（積分し）、縞のはっきりさを表す可視度 $V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}}$ を求められるようになります。ヤングの実験で光源のスリット幅をどこまで広げてよいかや、星の大きさを干渉で測る原理を考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

ヤングの実験で、間隔 $d$ の 2 つのスリット $S_{1}$ （上、 $+ \frac{d}{2}$ ）・ $S_{2}$ （下、 $- \frac{d}{2}$ ）から距離 $L$ のスクリーン、反対側の距離 $R$ に光源があるとします（ $L, R ≫ d$ および光源・スクリーン上の位置の大きさ）。光源の中心から横に $s$ ずれた点光源から出た光は、 $S_{2}$ を通る道のりの方が $S_{1}$ を通る道のりより、光源側で $\frac{d s}{R}$ 、スクリーン側で $\frac{d x}{L}$ だけ長くなります（ヤングの実験と同じ近似）。波数を $k = \frac{2 π}{λ}$ とすると、この点光源がつくる位相差は $δ = k d (\frac{x}{L} + \frac{s}{R})$ で、2 つのスリットからの光の強度が等しい（各 $I_{s}$ ）とき縞の強度は $2 I_{s} (1 + cos δ)$ です。光源が $s$ だけずれると、縞全体が $- \frac{L}{R} s$ だけずれるわけです。

光源の異なる点どうしはインコヒーレントなので、振幅ではなく強度を足します（2 光波の干渉の式で、位相差がでたらめに変わると干渉項の時間平均が 0 になるため）。幅 $b$ の一様な光源を、幅 $d s$ の点光源の集まりと考え、単位幅あたりの強度を $i_{0}$ として積分すると、 $φ = \frac{k d x}{L}$ 、 $α = \frac{k d}{R}$ とおいて
$I (x) = \int_{- b /2}^{b /2} 2 i_{0} {1 + cos (φ + α s)} d s = 2 i_{0} {b + \frac{sin ( φ + \frac{α b}{2} ) - sin ( φ - \frac{α b}{2} )}{α}} = 2 i_{0} b (1 + \frac{sin β}{β} cos φ)$
となります（和積の公式を使った）。ここで $β = \frac{α b}{2} = \frac{π d b}{λ R}$ です。 $cos φ$ は $x$ とともに $- 1$ から $1$ まで動くので、 $I_{m a x} = 2 i_{0} b (1 + \frac{sin β}{β})$ 、 $I_{m i n} = 2 i_{0} b (1 - \frac{sin β}{β})$ で、可視度は
$V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}} = \frac{sin β}{β}$
です。 $b \to 0$ （点光源）では $\frac{sin β}{β} \to 1$ で $V = 1$ となり、光源を広げて $β = π$ （ $b = \frac{λ R}{d}$ ）になると、ずれた縞がちょうど 1 周期分に均等に広がって打ち消し合い、 $V = 0$ になります。

考え方は光源の形によらず同じです。たとえば強度の等しい 2 つの点光源が、縞を位相にして $Δ$ だけずらすなら、 $cos φ + cos (φ + Δ) = 2 cos \frac{Δ}{2} cos (φ + \frac{Δ}{2})$ より $V = cos \frac{Δ}{2}$ です。

手順

光源の 1 点（位置 $s$ ）がつくる縞の強度を、2 光波の干渉の式で書く。ヤングの実験なら $δ = k d (\frac{x}{L} + \frac{s}{R})$ として $2 I_{s} (1 + cos δ)$
光源の各点はインコヒーレントなので、強度を光源全体で足し合わせる（連続な光源なら $s$ で積分する）
和積の公式などで結果を $I (x) = I_{avg} (1 + γ cos (φ + 定数))$ の形にまとめる（一様な幅 $b$ の光源なら $γ = \frac{sin β}{β}$ 、 $β = \frac{π d b}{λ R}$ ）
$cos$ が $\pm 1$ のときの $I_{m a x}, I_{m i n}$ を求め、 $V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}}$ を計算する（上の形なら $V = ∣ γ ∣$ ）

例題

ヤングの実験で、間隔 $d = 0.50 mm$ の 2 つのスリットを、そこから距離 $R = 1.0 m$ にある幅 $b = 0.50 mm$ の一様な明るさのスリット光源（波長 $λ = 500 nm$ の単色光）で照らす。光源スリットの幅の方向は 2 つのスリットを結ぶ方向と平行で、光源の異なる点から出た光は互いにインコヒーレント、光源の各点から 2 つのスリットに届く光の強度は等しいとする。 $R$ と、スリットからスクリーンまでの距離 $L$ は $d, b$ やスクリーン上の観測範囲に比べて十分大きいとして近似してよい。スクリーンの中央付近にできる干渉縞の可視度 $V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 光源の位置 $s$ の点がつくる縞の強度は $2 i_{0} d s {1 + cos (φ + α s)}$ （ $φ = \frac{k d x}{L}$ 、 $α = \frac{k d}{R}$ 、 $k = \frac{2 π}{λ}$ ）。

手順 2: 強度を $s = - \frac{b}{2}$ から $\frac{b}{2}$ まで積分する。
$\int_{- b /2}^{b /2} cos (φ + α s) d s = \frac{2}{α} sin \frac{α b}{2} cos φ$

手順 3: よって $I (x) = 2 i_{0} b (1 + \frac{sin β}{β} cos φ)$ 、ここで
$β = \frac{α b}{2} = \frac{π d b}{λ R} = \frac{π \times 0.50 \times 1 0 ^{- 3} \times 0.50 \times 1 0 ^{- 3}}{500 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.0} = \frac{π}{2}$
なので $\frac{sin β}{β} = \frac{1}{π /2} = \frac{2}{π}$ 。

手順 4: $I_{m a x} = 2 i_{0} b (1 + \frac{2}{π})$ 、 $I_{m i n} = 2 i_{0} b (1 - \frac{2}{π})$ より
$V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}} = \frac{2}{π}$

答え: $\frac{2}{π}$

よくある誤り

光源の各点からの光の振幅（電場）を足してから 2 乗してしまう誤り。光源の異なる点どうしはインコヒーレントで干渉項の時間平均が 0 になるので、正しくは各点がつくる縞の強度 $2 I_{s} (1 + cos δ)$ をそのまま足し合わせる（積分する）
可視度を $V = \frac{sin β}{β}$ として負の値を答えてしまう誤り。 $π < β < 2 π$ などで $\frac{sin β}{β} < 0$ のときは明暗が入れ替わるだけで、 $I_{m a x} \geq I_{m i n}$ から正しくは $V = \frac{sin β}{β}$
光源が $s$ ずれたときの位相のずれを、スクリーン側と同じ $\frac{k d s}{L}$ としてしまう誤り。光源側の経路差は光源から 2 つのスリットまでの距離 $R$ で決まり、正しくは $\frac{k d s}{R}$ 。したがって $β = \frac{π d b}{λ R}$ で、 $L$ は可視度に入らない
$β$ を $\frac{2 π d b}{λ R}$ としてしまう誤り。積分の端が $\pm \frac{b}{2}$ なので、正しくは $β = \frac{α b}{2} = \frac{π d b}{λ R}$ 。縞が消える（ $V = 0$ ）最初の幅は $b = \frac{λ R}{d}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
波長 $λ$ の単色光を使ったヤングの実験を考える。光源は、二重スリットから距離 $R$ だけ離れた位置にある幅 $b$ の一様な線光源で、スリットの並ぶ方向に広がっている。光源上の位置を $s$ $(- \frac{b}{2} \leq s \leq \frac{b}{2})$ 、スクリーン上の位置を $x$ 、二重スリットの間隔を $d$ 、二重スリットとスクリーンの距離を $L$ とする。光源上の各点どうしは互いにインコヒーレントであり、位置 $s$ から $s + d s$ の部分だけがつくるスクリーン上の強度は
$d I = I_{0} [1 + cos (\frac{2 π d x}{L λ} + \frac{2 π d s}{R λ})] d s$
で与えられるとする（ $I_{0}$ は正の定数）。光源の幅が $b = \frac{R λ}{2 d}$ のとき、スクリーン上の干渉縞の可視度 $V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}}$ を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
空気（屈折率 $1$ ）中でヤングの干渉実験を行う。光源は、幅 $w = 0.40 mm$ の細長い一様な帯状の光源（スリット状の光源）で、帯の長さの方向は二重スリットのスリットに平行である。光源の各点は互いにインコヒーレントに、真空中の波長 $λ = 600 nm$ の単色光を一様な強さで出す。
光源から距離 $L_{0} = 0.40 m$ の位置に、光源の面と平行に、中心間の距離 $d = 0.30 mm$ の 2 本の十分に細い平行スリットを置き、光源の帯の中心は 2 本のスリットの中点から二重スリットの面に引いた垂線上にある。さらに、二重スリットから距離 $L = 1.0 m$ の位置に、スリットの面と平行なスクリーンを置く。
スクリーンの中心付近に現れる干渉縞の可視度
$V = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}}$
を、正確な値（ $π$ を含む式）で求めよ。ただし、 $w, d ≪ L_{0}$ および $d$ と観測点の位置 $≪ L$ として近軸近似を用い、2 本のスリットを通った光の振幅は等しく、スリット幅による回折の効果（包絡線）は考えなくてよいものとする。