光路長と反射による位相の変化

空気中に、屈折率 $1.5$ の透明な薄い膜が水平に置かれている。空気中での波長が $600\mathrm{nm}$ の単色光を、膜の上から膜の面に垂直に当てる。膜の上面で反射する光と、膜に入って下面で反射し、再び上面から空気中に出てくる光が干渉する。空気の屈折率を $1.0$ とする。

反射光が強め合うような膜の厚さのうち、最も小さいものは何 $\mathrm{nm}$ か。

カメラのレンズの表面での反射を減らすため、屈折率 $1.50$ のガラスの平らな表面に、屈折率 $1.38$ の透明な薄膜を一様な厚さでつけた。空気中で、真空中での波長が $552\mathrm{nm}$ の光を薄膜に垂直に当てたとき、薄膜の上面で反射する光と、薄膜の下面（薄膜とガラスの境界）で反射する光が干渉して弱め合うようにしたい。

このような薄膜の厚さのうち、最も小さいものは何 $\mathrm{nm}$ か。ただし、空気の屈折率を $1.00$ とし、干渉に関わるのはこの 2 つの反射光だけとする。

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の平凸レンズの凸面を、平らなガラス板の上に置く。レンズと板は中心の 1 点で接している。レンズと板のすき間を、屈折率 $n$ の透明な液体で満たす。レンズとガラス板はどちらも屈折率 $1.65$ のガラスでできていて、$1<n<1.65$ とする。

真上から真空中の波長 $\lambda =550\text{nm}$ の単色光を垂直に入射させ、反射光でニュートンリングを観察する。中心の暗点は数えず、中心から外側へ数えて 10 番目の暗環の半径を測ると、$r_{10}=2.03\text{mm}$ であった。

この液体の屈折率 $n$ を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、光はほぼ垂直に入射・反射するとみなす。すき間の厚さ $t$ は中心からの距離 $r$ の点で $t\approx \frac{r^2}{2R}$ と近似してよい（$r\ll R$）。屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ向かう光が境界で反射するときだけ、位相が $\pi$ ずれるものとする。

ヤングの実験の装置全体を、屈折率 $n_w$ の水の中に沈めた。2 つの細いスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ は間隔 $d$ で並び、スリットを含む面から距離 $L$ だけ離れた位置に、スリット面と平行にスクリーンを置く。スクリーン上で、${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ から等距離にある点を O とし、スクリーン上で O から ${\mathrm{S}}_1$ の側へ測った位置を $x$ とする。${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ には、真空中での波長 $\lambda$ の単色光が同位相で入射する。

次に、厚さ $a$、屈折率 $n$（$n>n_w$）の透明な薄い板を、${\mathrm{S}}_1$ の直後（スクリーン側）にスリット面と平行に置き、${\mathrm{S}}_1$ を通った光だけがこの板を通過するようにした。このとき、板を置く前に O にあった中央の明線（2 つの光の光路差が $0$ となる明線）は、スクリーン上の位置 $x$ に移った。$x$ を $n$, $n_w$, $a$, $L$, $d$ を用いて表せ。

ただし、$L$ は $d$ や $|x|$ に比べて十分大きく、${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ からスクリーン上の点 P までの距離の差は ${\mathrm{S}}_2\mathrm{P}-{\mathrm{S}}_1\mathrm{P}=\frac{dx}{L}$ と近似してよい。また、板を通る光の道のりは板の厚さ $a$ とみなし、板の表面での反射は考えない。

水平な台の上に平らなガラス板 $\mathrm{B}$ を置き、その上に平らなガラス板 $\mathrm{A}$ を重ねる。2 枚の板は一方の端の直線 $\mathrm{O}$ で接しており、$\mathrm{O}$ から水平に $10\mathrm{cm}$ 離れた位置に、$\mathrm{O}$ と平行に厚さ $50\mu \mathrm{m}$ の薄い紙をはさんだ。これにより、$\mathrm{A}$ の下面と $\mathrm{B}$ の上面のあいだに、くさび形のすき間ができる。このすき間を、屈折率 $1.40$ の透明な液体ですき間なく満たした。ガラスの屈折率は $1.50$ である。

真上から、真空中での波長が $560\mathrm{nm}$ の単色光を板に垂直に当て、真上から反射光を見たところ、$\mathrm{O}$ と平行な明暗の縞が等間隔に見えた。くさびの角は十分小さく、光はすき間の中でも板に垂直に進むとみなしてよい。また、干渉に関わるのは $\mathrm{A}$ の下面で反射する光と $\mathrm{B}$ の上面で反射する光だけとする。

隣り合う暗線の間隔は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

空気中でヤングの実験を行う。間隔 $0.50\mathrm{mm}$ で平行に並んだ 2 つの細いスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ に、スリット面に垂直に単色光を当て、スリット面から $1.0\mathrm{m}$ 離れた、スリット面と平行なスクリーン上に干渉縞をつくった。${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ から等しい距離にあるスクリーン上の点を $\mathrm{O}$ とすると、はじめ、2 つのスリットからの光の光路差が $0$ になる明線（中央の明線）は $\mathrm{O}$ にあった。

次に、${\mathrm{S}}_1$ の直後に、屈折率 $1.5$ の厚さが一様な薄いガラス板を、スリット面と平行に置いて ${\mathrm{S}}_1$ を通った光だけがガラス板を垂直に通過するようにした。すると、中央の明線は、スクリーン上で $\mathrm{O}$ から ${\mathrm{S}}_1$ の側へ $6.0\mathrm{mm}$ 移動した。

ガラス板の厚さは何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気の屈折率を $1.0$ とし、スリットの間隔と縞の移動距離はスリットからスクリーンまでの距離に比べて十分小さいとする。また、ガラス板の表面での反射は無視する。

屈折率 $1.60$ の平らなガラス板の表面に、屈折率 $1.40$ の一様な厚さ $d$ の透明な薄膜がつけられている。空気（屈折率 $1$）中から白色光を膜面に垂直に入射させ、反射光のスペクトルを調べたところ、真空中の波長が $420\text{nm}$ 以上 $700\text{nm}$ 以下の範囲で反射光の強度が極大となる波長は $480\text{nm}$ と $600\text{nm}$ の 2 つだけであった。屈折率は波長によらないものとし、膜の上面と下面で 1 回ずつ反射した 2 つの光の干渉だけを考える。膜の厚さ $d$ を $\text{nm}$ 単位で、分数の形の正確な値で求めよ。

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の球面をもつ平凸レンズ（屈折率 $1.50$）を、球面を下にして平面ガラス板（屈折率 $1.80$）の上に置き、接点で両者が接するようにする。レンズと板の間のすき間を屈折率 $1.60$ の透明な液体で満たし、真上から真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色光を垂直に当てて、反射光でニュートンリングを観察する。接点を中心とする明るい環のうち、中心の明るい点を除いて内側から数えて $4$ 番目の明るい環の半径を $\text{mm}$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。ただし、すき間の厚さ $d$ は接点からの距離 $r$ を用いて $d=\frac{r^2}{2R}$ と近似でき、光はすき間をほぼ垂直に往復するものとする。また、すき間の上面と下面で 1 回ずつ反射した光の干渉だけを考える。

空気（屈折率 $1$）中でヤングの干渉実験を行う。

• 2 本の細いスリット $S_1$, $S_2$ がある面をスリット面とする。スリット面内でスリットに垂直な向きに $x$ 軸をとり、$S_1$ を $x=+\frac{d}{2}$、$S_2$ を $x=-\frac{d}{2}$ に置く。間隔は $d=0.50\text{mm}$ である。
• スリット面から光源側へ $D=0.50\text{m}$ 離れた位置に、スリットに平行な細い線状の白色光源を置く。光源の $x$ 座標は $s=+1.0\text{mm}$ である。
• スリット面から反対側へ $L=1.00\text{m}$ 離れた位置に、スリット面に平行なスクリーンを置く。スクリーン上の位置も同じ向きの $x$ 座標で表す。
• $S_1$ の直後だけを、厚さ $t=6.0\mu \text{m}$、屈折率 $n=1.50$ の薄い透明板で覆う。光は板をほぼ垂直に通過するものとし、板による光路長の増加は $(n-1)t$ とする。

スクリーン上には、2 つの経路の光路差が $0$ になる位置に白色の明線（0 次の明線）が 1 本だけ現れる。この明線の位置の $x$ 座標は何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。