薄膜の干渉

薄膜の上面と下面で反射する光の光路差 $2 n d$ （垂直入射）と反射による位相のずれから、強め合い・弱め合いの条件を立て、条件を満たす膜の厚さや波長を求められる

前提

光路長と反射による位相の変化（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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光路長と反射による位相の変化（高校物理波動）

説明

シャボン玉や水面の油膜が色づいて見えるのは、薄い膜の上面で反射した光と下面で反射した光が重なって干渉するためです。この技能を使うと、膜に光を垂直に当てたときに、反射光が強め合う条件と弱め合う条件を式で書けます。その式から、ある色の光が強く見える膜の厚さを求めたり、膜の厚さから強め合う光の波長を求めたりできます。レンズの反射防止膜の設計などにも使われる考え方です。

なぜそうしてよいのか

屈折率 $n$ 、厚さ $d$ の膜に光を垂直に当てます。上面で反射する光 A と、膜の中に入って下面で反射し、上面から出てくる光 B を比べます。B は A より、膜の中を行って戻る距離 $2 d$ だけ余分に進みます。膜の中では光の波長が真空中の $\frac{1}{n}$ になるので、この距離を光路長に直すと $n \times 2 d$ です。したがって、2 つの光の光路差は $2 n d$ です（空気の屈折率は 1 とみなします）。

ただし、光路差だけでは干渉の結果は決まりません。屈折率の小さい側から大きい側へ向かう境界で反射すると、位相が $π$ ずれます。これは光路差 $\frac{λ}{2}$ の分だけ山と谷が入れかわることに相当します。たとえば空気中にある膜（膜の屈折率 $n > 1$ ）では、上面の反射（空気→膜）で位相が $π$ ずれ、下面の反射（膜→空気）ではずれません。片方の光だけがずれるので、強め合いと弱め合いの条件が入れかわります。

まとめると、反射による位相のずれが「片方だけ」のときは、 $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ で強め合い、 $2 n d = mλ$ で弱め合います（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）。「両方でずれる」または「どちらもずれない」ときは、ずれが打ち消し合うか、もともとないので、 $2 n d = mλ$ で強め合い、 $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ で弱め合います。ここで $λ$ は真空中（空気中）の波長です。なお、膜の厚さは $d > 0$ なので、 $2 n d = mλ$ の形の条件では $m = 0$ （ $d = 0$ ）は除きます。

手順

光路差を求める：膜の屈折率を $n$ 、厚さを $d$ として、垂直入射なら光路差は $2 n d$ とする（往復ぶんの $2$ と、光路長に直す $n$ を忘れない）
反射による位相のずれを判定する：上面と下面のそれぞれで、屈折率の小さい側から大きい側への反射になっているか（その場合は位相が $π$ ずれる）を調べる
条件式を選ぶ：ずれが片方だけなら強め合い $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ 、弱め合い $2 n d = mλ$ 。ずれが両方またはなしなら強め合い $2 n d = mλ$ 、弱め合い $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ （ $m = 0, 1, 2, \dots$ 、 $λ$ は真空中の波長）
求めたい量について解く： $d$ や $λ$ について式を解き、問われている条件（最小の厚さなど）に合う $m$ を選ぶ。厚さ $d > 0$ や、波長が指定された範囲に入ることを確かめる

例題

空気中に置かれた屈折率 $1.5$ の薄い膜に、空気中での波長が $600 nm$ の単色光を膜の面に垂直に当てる。空気の屈折率を $1.0$ とする。膜の上面で反射した光と下面で反射した光が強め合うような膜の厚さのうち、最小のものは何 nm か。

例題の解答

手順1（光路差）：膜の厚さを $d$ とすると、下面で反射する光は膜の中を往復するので、光路差は $2 n d = 2 \times 1.5 \times d = 3.0 d$ である。

手順2（位相のずれの判定）：上面の反射は空気（ $1.0$ ）から膜（ $1.5$ ）へ向かう境界での反射なので、屈折率の小さい側から大きい側への反射であり、位相が $π$ ずれる。下面の反射は膜（ $1.5$ ）から空気（ $1.0$ ）への境界なので、位相はずれない。ずれは片方だけである。

手順3（条件式）：ずれが片方だけなので、強め合いの条件は
$2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ (m = 0, 1, 2, \dots)$

手順4（解く）： $d = \frac{( 2 m + 1 ) λ}{4 n}$ である。 $d$ が最小になるのは $m = 0$ のときで、
$d = \frac{λ}{4 n} = \frac{600}{4 \times 1.5} = 100 nm$
これは $d > 0$ を満たす。よって、最小の厚さは $100 nm$ である。

答え: $100$

よくある誤り

光路差を幾何学的な距離のまま $2 d$ としてしまう誤り。正しくは、膜の中では光路長に直して $2 n d$ とする（例： $n = 1.5$ , $d = 100 nm$ なら光路差は $200 nm$ ではなく $300 nm$ ）。
反射による位相のずれを考えずに、いつでも $2 n d = mλ$ を強め合いの条件としてしまう誤り。正しくは、空気中の膜のように片方の反射だけで位相が $π$ ずれるときは、強め合いが $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ 、弱め合いが $2 n d = mλ$ になる。
往復を忘れて光路差を $n d$ としてしまう誤り。例題で $n d = \frac{λ}{2}$ と置くと $d = \frac{600}{2 \times 1.5} = 200 nm$ という誤った答えになる。正しくは、下面で反射する光は膜の中を行って戻るので光路差は $2 n d$ であり、 $2 n d = \frac{λ}{2}$ から $d = \frac{600}{4 \times 1.5} = 100 nm$ となる。
両方の反射で位相がずれる場合（例：ガラス $n = 1.5$ の上にのせた屈折率 $1.4$ の膜。上面は空気→膜、下面は膜→ガラスで、どちらも小→大）を、片方だけずれるときと同じに扱ってしまう誤り。正しくは、ずれが打ち消し合うので、強め合いは $2 n d = mλ$ （ $m = 1, 2, \dots$ ）、弱め合いは $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ （ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気中に、屈折率 $1.5$ の一様な厚さの薄膜が置かれている。この薄膜に、空気中での波長が $600 nm$ の単色光を膜の面に垂直に当て、反射光を観察する。膜の上面で反射する光と、膜に入って下面で反射して戻る光が干渉し、反射光が強め合った。このような膜の厚さのうち、最も小さいものは何 nm か。ただし、空気の屈折率は $1.0$ とし、膜の上下はどちらも空気であるとする。
空気（屈折率 $1.0$ ）膜（屈折率 $1.5$ ）空気（屈折率 $1.0$ ） $600 nm$
光は実際には膜に垂直に入射するが、見やすいように斜めに描いている

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
カメラのレンズの表面での反射を減らすため、屈折率 $1.50$ のガラスの平らな表面に、屈折率 $1.38$ の透明な薄膜を一様な厚さでつけた。空気中で、真空中での波長が $552 nm$ の光を薄膜に垂直に当てたとき、薄膜の上面で反射する光と、薄膜の下面（薄膜とガラスの境界）で反射する光が干渉して弱め合うようにしたい。
このような薄膜の厚さのうち、最も小さいものは何 $nm$ か。ただし、空気の屈折率を $1.00$ とし、干渉に関わるのはこの 2 つの反射光だけとする。
薄膜（ $1.38$ ）ガラス（ $1.50$ ）空気（ $1.00$ ） $552 nm$
光は垂直に当てる（反射光は見やすくずらして描いています）

この技能の次に学べること

くさび形の干渉とニュートンリング（高校物理波動）
薄膜干渉と反射スペクトル（大学物理光学）