薄膜干渉と反射スペクトル

反射での位相の変化を考えて薄膜の上下面からの光の光路差 $2 n d cos θ_{t}$ を立て、反射が強め合う・弱め合う波長や膜厚を求められる

前提

2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）
薄膜の干渉（高校物理波動）

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2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）
薄膜の干渉（高校物理波動）

説明

光が薄膜に斜めに入射したときも、膜の上面で反射する光と下面で反射して戻ってくる光の光路差が $2 n d cos θ_{t}$ （ $n$ は膜の屈折率、 $d$ は膜厚、 $θ_{t}$ は膜の中の屈折角）になることを使って、反射光が強め合う・弱め合う波長や膜厚を求められるようになります。反射による位相の変化と組み合わせて条件を立てれば、シャボン玉や油膜の色、反射防止膜の設計、見る角度によって色が変わる理由などを定量的に扱えます。

なぜそうしてよいのか

屈折率 $n_{0}$ の媒質から、厚さ $d$ ・屈折率 $n$ の平らな膜に入射角 $θ_{i}$ で平行光が入るとします。膜の中の屈折角 $θ_{t}$ は屈折の法則 $n_{0} sin θ_{i} = n sin θ_{t}$ で決まります。光 2 は上面の点 A で膜に入り、下面で反射して上面の点 C から外へ出ます。これと重なって同じ向きに進むのは、点 C で上面反射する別の入射光線（光 1）です。光 2 が膜の中を進む道のりは $\frac{2 d}{cos θ _{t}}$ で、光路長は $\frac{2 n d}{cos θ _{t}}$ です。一方、A と C の距離は $A C = 2 d tan θ_{t}$ です。入射光の波面（光線に垂直な面）のうち A を通るものを考えると、光 1 はこの波面から C に達するまでに、媒質 $n_{0}$ の中を $A C sin θ_{i} = 2 d tan θ_{t} sin θ_{i}$ だけ進む必要があります。光 2 はこの波面上の A から出発するので、C から先は 2 つの光が同じ道を進むことを考えると、光路差は
$\frac{2 n d}{cos θ _{t}} - n_{0} \cdot 2 d tan θ_{t} sin θ_{i} = \frac{2 n d}{cos θ _{t}} - 2 d tan θ_{t} \cdot n sin θ_{t} = \frac{2 n d ( 1 - sin ^{2} θ _{t} )}{cos θ _{t}} = 2 n d cos θ_{t}$
となります（途中で $n_{0} sin θ_{i} = n sin θ_{t}$ を使った）。垂直入射（ $θ_{t} = 0$ ）では $2 n d$ に戻ります。斜めに入ると膜の中の道のりは長くなりますが、外側の光 1 の道のりも長くなるので、差し引きでは光路差は小さくなる（ $cos θ_{t} < 1$ 倍）点に注意しましょう。

さらに、屈折率の小さい媒質から大きい媒質との境界で反射すると位相が $π$ ずれ（光路にして $\frac{λ}{2}$ 分）、大きい側から小さい側との境界での反射ではずれません。2 つの光の位相差は
$δ = \frac{2 π}{λ} \cdot 2 n d cos θ_{t} + (反射による位相のずれの差)$
で、 $λ$ は真空中の波長です。2 光波の干渉の式 $I = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2} cos δ$ より、 $δ$ が $2 π$ の整数倍なら反射光は最も強く、 $π$ の奇数倍なら最も弱くなります。反射による位相のずれが片方だけにあるとき（例：空気中の膜、 $n > n_{0}$ で膜の下も空気）は
$強め合い： 2 n d cos θ_{t} = (m + \frac{1}{2}) λ, 弱め合い： 2 n d cos θ_{t} = mλ (m = 0, 1, 2, \dots)$
両方で同じだけずれるとき（または両方ともずれないとき）は、この 2 つの条件が入れ替わります。

手順

屈折の法則 $n_{0} sin θ_{i} = n sin θ_{t}$ から膜の中の屈折角を求め、 $cos θ_{t} = 1 - sin^{2} θ_{t}$ を計算する
光路差 $2 n d cos θ_{t}$ を計算する
上面と下面のそれぞれの反射で位相が $π$ ずれるか（屈折率の小さい側から大きい側との境界での反射か）を調べ、ずれが片方だけか、両方同じかを判定する
ずれが片方だけなら強め合い $2 n d cos θ_{t} = (m + \frac{1}{2}) λ$ ・弱め合い $2 n d cos θ_{t} = mλ$ 、両方同じなら強め合い $2 n d cos θ_{t} = mλ$ ・弱め合い $2 n d cos θ_{t} = (m + \frac{1}{2}) λ$ を立てる（ $m$ は 0 以上の整数）
求めたい量（ $λ$ または $d$ ）について解き、 $m = 0, 1, 2, \dots$ と順に代入して、問題の範囲に入るものを選ぶ

例題

空気（屈折率 $1.00$ ）中に置かれた、屈折率 $1.50$ ・厚さ $250 nm$ の平らな薄膜に、白色光を入射角 $θ_{i}$ （ $sin θ_{i} = 0.90$ ）で当てる。膜の上面で反射した光と下面で反射した光の干渉により反射光が最も強め合う波長のうち、真空中の波長が $380 nm$ 以上 $780 nm$ 以下の範囲にあるものはただ 1 つである。その波長は何 nm か。ただし空気中の波長は真空中の波長に等しいとし、膜の中で複数回反射する光は考えない。

例題の解答

手順 1: 屈折の法則より $1.00 \times 0.90 = 1.50 sin θ_{t}$ なので $sin θ_{t} = 0.60$ 、 $cos θ_{t} = 1 - 0.36 = 0.80$ 。

手順 2: 光路差は $2 n d cos θ_{t} = 2 \times 1.50 \times 250 \times 0.80 = 600 nm$ 。

手順 3: 上面の反射は空気（ $1.00$ ）から膜（ $1.50$ ）との境界なので位相が $π$ ずれる。下面の反射は膜（ $1.50$ ）から空気（ $1.00$ ）との境界なのでずれない。ずれは片方だけである。

手順 4: 強め合いの条件は
$600 = (m + \frac{1}{2}) λ (m = 0, 1, 2, \dots)$

手順 5: $λ = \frac{1200}{2 m + 1} nm$ で、 $m = 0$ のとき $1200$ 、 $m = 1$ のとき $400$ 、 $m = 2$ のとき $240$ 、 $m \geq 3$ ではさらに短い。 $380$ 以上 $780$ 以下に入るのは $m = 1$ の $400 nm$ だけである。

答え: $400$

よくある誤り

斜め入射でも光路差を膜の中の光路長だけで $\frac{2 n d}{cos θ _{t}}$ としてしまう誤り。外側を進む光 1 の余分な光路 $\frac{2 n d sin ^{2} θ _{t}}{cos θ _{t}}$ を差し引く必要があり、正しくは $2 n d cos θ_{t}$ 。例題の値では $\frac{2 \times 1.50 \times 250}{0.80} = 937.5 nm$ ではなく $600 nm$
斜め入射なのに $cos θ_{t}$ を掛け忘れて垂直入射の $2 n d$ を使ったり、屈折角の代わりに入射角を使って $2 n d cos θ_{i}$ としたりする誤り。正しくは膜の中の屈折角 $θ_{t}$ を $n_{0} sin θ_{i} = n sin θ_{t}$ で求めて $2 n d cos θ_{t}$ とする。例題の値では $2 n d = 750 nm$ ではなく $600 nm$
反射による位相のずれを考えずに、いつも強め合いを $2 n d cos θ_{t} = mλ$ としてしまう誤り。空気中の膜のように片方の反射だけで $π$ ずれるときは、正しくは強め合いが $2 n d cos θ_{t} = (m + \frac{1}{2}) λ$ 。ガラス（屈折率 $1.5$ ）上の屈折率 $1.38$ の膜のように両方の反射でずれるときは $2 n d cos θ_{t} = mλ$ が強め合い
膜の中の波長 $\frac{λ}{n}$ と光路差 $2 n d cos θ_{t}$ を同時に使って、屈折率を二重に入れてしまう誤り。光路差（すでに $n$ を掛けてある）と比べるのは真空中の波長 $λ$ 。膜の中の波長 $\frac{λ}{n}$ で比べるなら、両辺を $n$ で割った $2 d cos θ_{t}$ と比べる（どちらでも同じ条件になる）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気（屈折率 $1$ ）中に、屈折率 $n = \frac{4}{3}$ 、厚さ $d = 375 nm$ の一様な薄膜がある。白色光を、入射角 $θ$ が $sin θ = \frac{4}{5}$ となるように膜に当て、膜の上面で反射した光と、膜に入って下面で反射し再び上面から出てきた光の干渉を観察する。屈折率の小さい媒質から大きい媒質への境界での反射では位相が $π$ ずれ、大きい媒質から小さい媒質への境界での反射では位相は変わらないとする。膜の中での多重反射は無視する。空気中での波長が $380 nm$ 以上 $780 nm$ 以下の範囲で、反射光が強め合う波長は何 $nm$ か。既約分数で求めよ。

薄膜干渉と反射スペクトル

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題