光学の問題

屈折率 $1.60$ の平らなガラス板の表面に、屈折率 $1.40$ の一様な厚さ $d$ の透明な薄膜がつけられている。空気（屈折率 $1$）中から白色光を膜面に垂直に入射させ、反射光のスペクトルを調べたところ、真空中の波長が $420\text{nm}$ 以上 $700\text{nm}$ 以下の範囲で反射光の強度が極大となる波長は $480\text{nm}$ と $600\text{nm}$ の 2 つだけであった。屈折率は波長によらないものとし、膜の上面と下面で 1 回ずつ反射した 2 つの光の干渉だけを考える。膜の厚さ $d$ を $\text{nm}$ 単位で、分数の形の正確な値で求めよ。

空気（屈折率 $n_1=1$）から屈折率 $n_2=\sqrt{3}$ の平らなガラス面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で非干渉に重なった光）を入射させる。入射角をブリュースター角 ${\theta }_B$ にしたとき、反射光の強度は入射光の強度の何倍か。ただし、s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
（${\theta }_i$ は入射角、${\theta }_t$ は屈折角）で与えられ、強度反射率は $|r_s{|}^2$ であるとする。ガラスでの吸収と、ガラスの裏面からの反射は考えない。答えは分数で答えよ。

マイケルソン干渉計の一方の腕に、光が往復で通過する向きに長さ $L=5.0\mathrm{cm}$ の透明な容器（セル）を置く。はじめセルの中は真空（屈折率 $1$）で、そこへゆっくり気体を入れていくと、セル内の屈折率が $1$ から $1.00030$ まで連続的に増えた。光源は真空中での波長 $\lambda =600\mathrm{nm}$ の単色光で、光は鏡で反射してセルを 2 回（往きと帰り）通る。セルの窓の厚さの影響と、ほかの部分の光路の変化は無視する。この間に観測点を通過した干渉縞（明線）は何本か。

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の平凸レンズの凸面を、平らなガラス板の上に置く。レンズと板は中心の 1 点で接している。レンズと板のすき間を、屈折率 $n$ の透明な液体で満たす。レンズとガラス板はどちらも屈折率 $1.65$ のガラスでできていて、$1<n<1.65$ とする。

真上から真空中の波長 $\lambda =550\text{nm}$ の単色光を垂直に入射させ、反射光でニュートンリングを観察する。中心の暗点は数えず、中心から外側へ数えて 10 番目の暗環の半径を測ると、$r_{10}=2.03\text{mm}$ であった。

この液体の屈折率 $n$ を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、光はほぼ垂直に入射・反射するとみなす。すき間の厚さ $t$ は中心からの距離 $r$ の点で $t\approx \frac{r^2}{2R}$ と近似してよい（$r\ll R$）。屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ向かう光が境界で反射するときだけ、位相が $\pi$ ずれるものとする。

屈折率 $n_1=\sqrt{2}$ のガラスの中から、屈折率 $n_2=1$ の空気との平らな境界面に、s 偏光の光が入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射する。s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
で与えられ（${\theta }_t$ は屈折角）、臨界角を超える入射では屈折の法則 $n_1\sin {\theta }_i=n_2\sin {\theta }_t$ を満たす $\cos {\theta }_t$ を
$$n_2\cos {\theta }_t=i\sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_i-n_2^2}$$
ととる（$i$ は虚数単位）。このとき $r_s=e^{i{\delta }_s}$ と表される。反射による位相の変化 ${\delta }_s$ を $-\pi <{\delta }_s\le \pi$ の範囲で求めよ。