光学の問題

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の球面をもつ平凸レンズ（屈折率 $1.50$）を、球面を下にして平面ガラス板（屈折率 $1.80$）の上に置き、接点で両者が接するようにする。レンズと板の間のすき間を屈折率 $1.60$ の透明な液体で満たし、真上から真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色光を垂直に当てて、反射光でニュートンリングを観察する。接点を中心とする明るい環のうち、中心の明るい点を除いて内側から数えて $4$ 番目の明るい環の半径を $\text{mm}$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。ただし、すき間の厚さ $d$ は接点からの距離 $r$ を用いて $d=\frac{r^2}{2R}$ と近似でき、光はすき間をほぼ垂直に往復するものとする。また、すき間の上面と下面で 1 回ずつ反射した光の干渉だけを考える。

夜間、黒い板の上に、間隔 $\Delta x=2.0\text{mm}$ で 2 個の小さな緑色 LED（点光源とみなす）が並んでいる。LED はどちらも真空中の波長 $\lambda =5.0\times 10^2\text{nm}$ の単色光を出し、互いにインコヒーレントである。この 2 つの点光源を、瞳孔の直径が $D=3.0\text{mm}$ の目で、板に垂直な方向から見る。

目の分解能は瞳孔（空気中に置かれた直径 $D$ の円形開口とみなす）による回折だけで決まるものとし、レイリーの判定条件、すなわち 2 点光源を見込む角が
$${\theta }_{\min }=1.22\frac{\lambda }{D}$$
のときに 2 点がちょうど分解できるものとする。空気の屈折率は $1$ とし、角は十分小さいので $\tan \theta \approx \theta$ と近似してよい。目の網膜の構造による制限や眼球内部の屈折率の影響は考えない。

2 つの LED を 2 点として見分けられる、目から板までの距離の最大値 $L_{\max }$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

一軸性結晶の平行平板を、光学軸が板の面に平行になるように切り出して、真空中の波長 $\lambda =630\text{nm}$ の単色光に対する $\frac{1}{4}$ 波長板を作りたい。この波長での常光線の屈折率を $n_o$、異常光線の屈折率を $n_e$ とし、$n_e-n_o=9.00\times 10^{-3}$ とする。光を板の面に垂直に入射させるとき、板を通過した常光線と異常光線（光学軸に垂直・平行に振動する成分）の位相差がちょうど $\frac{\pi }{2}$ になるような板の厚さのうち、最小のものを $\mu \text{m}$ 単位で求めよ。ただし、板の表面での反射は無視する。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射させる。入射角は、p 偏光（入射面内に電場が振動する成分）の反射率が $0$ となるブリュースター角に選ぶ。このとき、入射光のエネルギー（強度）のうち反射される割合を、正確な値（分数）で求めよ。ただし、自然光は互いに強度の等しい s 偏光と p 偏光の非干渉な重ね合わせとみなし、反射率はフレネルの式で与えられるものとする。

空気（屈折率 $1$ とみなす）中に置いたマイケルソン干渉計に、ナトリウムランプの光を入れる。この光は、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.0\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.6\text{nm}$ の 2 本のスペクトル線だけからなるとする。2 本の線の強度は等しく、それぞれの線の幅は無視できる。また、2 本の線は互いにインコヒーレントである。光は 2 枚の鏡に垂直に入射し、ビームスプリッターによる光路差は補償板で打ち消されている。

一方の鏡（可動鏡）を光軸に沿ってゆっくり動かすと、観測点での干渉縞の鮮明度（ビジビリティ）が周期的に変化した。鮮明度が最小になる可動鏡の位置から、次に鮮明度が最小になる位置まで、可動鏡を動かす距離は何 mm か。有効数字 3 桁で求めよ。