光学の問題

夜間、黒い板の上に、間隔 $\Delta x=2.0\text{mm}$ で 2 個の小さな緑色 LED（点光源とみなす）が並んでいる。LED はどちらも真空中の波長 $\lambda =5.0\times 10^2\text{nm}$ の単色光を出し、互いにインコヒーレントである。この 2 つの点光源を、瞳孔の直径が $D=3.0\text{mm}$ の目で、板に垂直な方向から見る。

目の分解能は瞳孔（空気中に置かれた直径 $D$ の円形開口とみなす）による回折だけで決まるものとし、レイリーの判定条件、すなわち 2 点光源を見込む角が
$${\theta }_{\min }=1.22\frac{\lambda }{D}$$
のときに 2 点がちょうど分解できるものとする。空気の屈折率は $1$ とし、角は十分小さいので $\tan \theta \approx \theta$ と近似してよい。目の網膜の構造による制限や眼球内部の屈折率の影響は考えない。

2 つの LED を 2 点として見分けられる、目から板までの距離の最大値 $L_{\max }$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様で等方的な透明ガラス（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の内部から、ガラスと空気（屈折率 $1$）の平らな境界面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{6}$ で入射させる。p 偏光は入射面内に電場が振動する成分、s 偏光は入射面に垂直に電場が振動する成分とし、自然光は互いにインコヒーレントで強度の等しい p 偏光成分と s 偏光成分からなるとする。空気中へ透過した光のうち、p 偏光成分の強度を $I_p$、s 偏光成分の強度を $I_s$ とする。透過光の偏光度を $P=\frac{|I_p-I_s|}{I_p+I_s}$ で定義するとき、$P$ の値を既約分数で求めよ。ただし、フレネルの式を用い、各偏光成分について境界面での吸収はなく、エネルギー（パワー）は反射光と透過光に分かれるだけであるとする。

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の平凸レンズの凸面を、平らなガラス板の上に置く。レンズと板は中心の 1 点で接している。レンズと板のすき間を、屈折率 $n$ の透明な液体で満たす。レンズとガラス板はどちらも屈折率 $1.65$ のガラスでできていて、$1<n<1.65$ とする。

真上から真空中の波長 $\lambda =550\text{nm}$ の単色光を垂直に入射させ、反射光でニュートンリングを観察する。中心の暗点は数えず、中心から外側へ数えて 10 番目の暗環の半径を測ると、$r_{10}=2.03\text{mm}$ であった。

この液体の屈折率 $n$ を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、光はほぼ垂直に入射・反射するとみなす。すき間の厚さ $t$ は中心からの距離 $r$ の点で $t\approx \frac{r^2}{2R}$ と近似してよい（$r\ll R$）。屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ向かう光が境界で反射するときだけ、位相が $\pi$ ずれるものとする。

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=10\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-20\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を同じ光軸上に置き、$L_2$ を $L_1$ の後方（光の進む側）$10\text{cm}$ の位置に置いた。$L_1$ の前方 $30\text{cm}$ の光軸上に、光軸に垂直に小さな物体を置く。光が $L_1$、$L_2$ の順に通ってできる最終的な像の横倍率（像の高さ $/$ 物体の高さ。倒立像なら負とする）を求めよ。ただし近軸近似を用いる。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{4}$ で入射させる。

反射光の強度のうち、s 偏光成分（電場が入射面に垂直）の強度を $I_s$、p 偏光成分（電場が入射面内）の強度を $I_p$ とし、反射光の偏光度を
$$P=\frac{I_s-I_p}{I_s+I_p}$$
で定義する。$P$ の値を求めよ。ただし、自然光は s 偏光成分と p 偏光成分を等しい強度で含み、両者は互いにインコヒーレントであるとする。