マイケルソン干渉計

鏡の移動や光路中の媒質の屈折率変化による光路差の変化 $Δ (2 n L)$ から、観測点を通過する縞の本数 $Δ (2 n L) / λ$ を求められる

前提

2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）

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算数中学高校大学大学院

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2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）

説明

マイケルソン干渉計は、1 本の光をハーフミラー（半透鏡）で 2 つに分け、それぞれを鏡で折り返して再び重ね合わせる装置です。片方の腕の鏡を動かしたり、腕の中の気体の屈折率を変えたりすると 2 つの光の光路差が変わり、観測点の明るさが明→暗→明と変化して縞が通り過ぎていきます。その本数 $N = \frac{Δ ( 2 n L )}{λ}$ を数えることで、波長程度の微小な長さの変化や、気体の屈折率などを精密に測ることができます。

なぜそうしてよいのか

ハーフミラーから鏡 1 までの距離を $L_{1}$ 、鏡 2 までの距離を $L_{2}$ とし、腕の中の媒質の屈折率をそれぞれ $n_{1}, n_{2}$ とします。光はハーフミラーと鏡の間を往復するので、それぞれの腕の光路長は $2 n_{1} L_{1}, 2 n_{2} L_{2}$ です。観測点で重なる 2 つの光の位相差は
$δ = \frac{2 π}{λ} (2 n_{1} L_{1} - 2 n_{2} L_{2}) + δ_{0}$
です。ここで $λ$ は真空中の波長、 $δ_{0}$ はハーフミラーでの反射などによる一定の位相のずれで、鏡を動かしても変わりません。2 光波の干渉の式 $I = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2} cos δ$ より、観測点の明るさは $δ$ が $2 π$ 増えるごとに 1 周期分変化します。つまり明線が観測点を 1 本通過します。

したがって、片方の腕の光路長 $2 n L$ が $Δ (2 n L)$ だけ変わると、 $δ$ は $\frac{2 π}{λ} Δ (2 n L)$ だけ変わり、観測点を通過する縞の本数は
$N = \frac{Δ ( 2 n L )}{λ}$
となります。媒質が空気（ $n = 1$ とみなす）のまま鏡を $Δ L$ 動かしたときは $N = \frac{2Δ L}{λ}$ で、鏡を $\frac{λ}{2}$ 動かすごとに縞が 1 本動きます。往復するので、鏡の移動距離の 2 倍が光路差の変化になるのがポイントです。長さ $L$ の容器の中の気体の屈折率が $n$ から $n^{'}$ に変われば $N = \frac{2 ( n ^{'} - n ) L}{λ}$ です。

手順

変化する腕について、変化の前後の光路長（往復分） $2 n L$ を書く。腕の一部だけに媒質があるときは、その部分の長さで光路長を計算する
光路長の変化 $Δ (2 n L)$ を求める。鏡の移動なら $2 n Δ L$ 、屈折率の変化なら $2 L Δ n$
通過する縞の本数を $N = \frac{Δ ( 2 n L )}{λ}$ （ $λ$ は真空中の波長）で求める。逆に $N$ が与えられたら、この式を移動距離や屈折率について解く

例題

マイケルソン干渉計の一方の腕に、光が通る方向の長さ $L = 3.0 cm$ の容器を置き、光がこの容器の中を往復するようにした。容器の中を真空（屈折率 $1$ ）にした状態から、ある気体をゆっくり入れていくと、観測点を明線が $30$ 本通過した。光の真空中の波長を $600 nm$ とし、容器の壁の影響は考えない。この気体の屈折率を $n$ とするとき、 $n - 1$ を有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 容器の部分の光路長（往復分）は、真空のとき $2 \times 1 \times L$ 、気体を入れたあと $2 n L$ である。ほかの部分の光路長は変わらない。

手順 2: 光路長の変化は
$Δ (2 n L) = 2 n L - 2 L = 2 (n - 1) L$

手順 3: 通過した縞の本数は $N = \frac{2 ( n - 1 ) L}{λ} = 30$ なので
$n - 1 = \frac{N λ}{2 L} = \frac{30 \times 600 \times 1 0 ^{- 9} m}{2 \times 3.0 \times 1 0 ^{- 2} m} = 3.0 \times 1 0^{- 4}$

答え: $3.0 \times 1 0^{- 4}$

よくある誤り

光が腕を往復することを忘れて、鏡の移動 $Δ L$ に対して $N = \frac{Δ L}{λ}$ としてしまう誤り。正しくは光路長は $2Δ L$ 変わるので $N = \frac{2Δ L}{λ}$ （鏡を $\frac{λ}{2}$ 動かすごとに縞が 1 本）
屈折率が変わったときの光路長の変化を $2 n L$ そのものとしてしまう誤り。縞の数を決めるのは変化分なので、正しくは $Δ (2 n L) = 2 (n^{'} - n) L$ 。例えば真空から屈折率 $n$ の気体に変えたときは $2 (n - 1) L$
媒質の中の波長 $\frac{λ}{n}$ を使って $N = \frac{2 ( n - 1 ) L}{λ / n}$ のように屈折率を二重に入れてしまう誤り。光路長の変化（すでに屈折率を掛けてある）を割るのは真空中の波長 $λ$ で、正しくは $N = \frac{2 ( n - 1 ) L}{λ}$
縞 1 本の通過を位相差 $π$ の変化としてしまう誤り。明→暗は $π$ だが、明線から次の明線までは $cos δ$ の 1 周期の $2 π$ で、これが光路差 $λ$ の変化に対応する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
マイケルソン干渉計の一方の腕に、光が往復で通過する向きに長さ $L = 5.0 cm$ の透明な容器（セル）を置く。はじめセルの中は真空（屈折率 $1$ ）で、そこへゆっくり気体を入れていくと、セル内の屈折率が $1$ から $1.00030$ まで連続的に増えた。光源は真空中での波長 $λ = 600 nm$ の単色光で、光は鏡で反射してセルを 2 回（往きと帰り）通る。セルの窓の厚さの影響と、ほかの部分の光路の変化は無視する。この間に観測点を通過した干渉縞（明線）は何本か。

マイケルソン干渉計

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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