光学

同じ波長で互いにコヒーレントな 2 つの光波が、スクリーン上で重なり合う。スクリーン上のどの点でも、一方の光波だけが届いたときの強度は $I_0$、もう一方の光波だけが届いたときの強度は $4I_0$ であり（$I_0>0$）、2 つの光波の偏光の向きは同じである。点によって 2 つの光波の位相差 $\delta$ はあらゆる値をとるとする。重ね合わせた光の強度の最大値は最小値の何倍か。

空気中で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=30\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ $L_2$ を、光軸を共有して $d=10\mathrm{cm}$ 離して置き、光は $L_1$ から $L_2$ の向きに進む。近軸光線を、光軸からの高さ $y$ と光軸となす角 $\theta$ の組 $\left(\begin{array}{c}y\\ \theta \end{array}\right)$ で表し、距離 $d$ の自由伝搬の光線行列を $\left(\begin{array}{cc}1& d\\ 0& 1\end{array}\right)$、焦点距離 $f$ の薄いレンズの光線行列を $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1/f& 1\end{array}\right)$ とする。$L_1$ の直前から $L_2$ の直後までの系全体の光線行列を $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$ とし、系の合成焦点距離を $f=-\frac{1}{C}$ で定めるとき、$f$ は何 $\mathrm{cm}$ か。

強度 $I_0$ の自然光（偏光していない光）を、理想的な 3 枚の偏光板 $P_1$, $P_2$, $P_3$ にこの順に垂直に通す。光の進む向きから見て、$P_2$ の透過軸は $P_1$ の透過軸から $30^{\circ }$、$P_3$ の透過軸は $P_1$ の透過軸から $90^{\circ }$ だけ同じ向きに回転している。理想的な偏光板は、透過軸に平行な電場の成分をすべて通し、垂直な成分をすべて吸収するものとする（反射は無視する）。$P_3$ を通過した光の強度を $I$ とするとき、$\frac{I}{I_0}$ を求めよ。

空気（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=\frac{4}{3}$、厚さ $d=375\mathrm{nm}$ の一様な薄膜がある。白色光を、入射角 $\theta$ が $\sin \theta =\frac{4}{5}$ となるように膜に当て、膜の上面で反射した光と、膜に入って下面で反射し再び上面から出てきた光の干渉を観察する。屈折率の小さい媒質から大きい媒質への境界での反射では位相が $\pi$ ずれ、大きい媒質から小さい媒質への境界での反射では位相は変わらないとする。膜の中での多重反射は無視する。空気中での波長が $380\mathrm{nm}$ 以上 $780\mathrm{nm}$ 以下の範囲で、反射光が強め合う波長は何 $\mathrm{nm}$ か。既約分数で求めよ。

マイケルソン干渉計の一方の腕に、光が往復で通過する向きに長さ $L=5.0\mathrm{cm}$ の透明な容器（セル）を置く。はじめセルの中は真空（屈折率 $1$）で、そこへゆっくり気体を入れていくと、セル内の屈折率が $1$ から $1.00030$ まで連続的に増えた。光源は真空中での波長 $\lambda =600\mathrm{nm}$ の単色光で、光は鏡で反射してセルを 2 回（往きと帰り）通る。セルの窓の厚さの影響と、ほかの部分の光路の変化は無視する。この間に観測点を通過した干渉縞（明線）は何本か。

波長 $\lambda$ の単色光を使ったヤングの実験を考える。光源は、二重スリットから距離 $R$ だけ離れた位置にある幅 $b$ の一様な線光源で、スリットの並ぶ方向に広がっている。光源上の位置を $s$ $\left(-\frac{b}{2}\le s\le \frac{b}{2}\right)$、スクリーン上の位置を $x$、二重スリットの間隔を $d$、二重スリットとスクリーンの距離を $L$ とする。光源上の各点どうしは互いにインコヒーレントであり、位置 $s$ から $s+ds$ の部分だけがつくるスクリーン上の強度は
$$dI=I_0\left[1+\cos \left(\frac{2\pi dx}{L\lambda }+\frac{2\pi ds}{R\lambda }\right)\right]ds$$
で与えられるとする（$I_0$ は正の定数）。光源の幅が $b=\frac{R\lambda }{2d}$ のとき、スクリーン上の干渉縞の可視度 $V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$ を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

平行に向かい合わせた 2 枚の同じ鏡からなるファブリー・ペロー干渉計に、波長 $\lambda$ の単色の平面波が垂直に入射する。各鏡の（強度）反射率は $R=0.8$、透過率は $T=1-R=0.2$ で、鏡や鏡の間の媒質での吸収はないものとする。鏡の間を 1 往復するときの位相差を $\delta$ とすると、入射光の強度を $I_0$ として透過光の強度は
$$I_t=\frac{I_0}{1+F{\sin }^2(\delta /2)},F=\frac{4R}{(1-R{)}^2}$$
で表される。鏡の間隔を少しずつ変えて $\delta$ を変化させたとき、透過光の強度の最大値 $I_{\max }$ と最小値 $I_{\min }$ の比 $\frac{I_{\max }}{I_{\min }}$ を求めよ。

幅 $a=3.0\mu \text{m}$ の単スリットに、波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色の平面波が垂直に入射し、十分遠方（フラウンホーファー回折の条件が成り立つ位置）で回折光を観測する。回折角 $\theta$ の方向の強度は
$$I=I_0{\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2,\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$$
で表される（$I_0$ は $\theta =0$ の方向の強度）。$\sin \theta =0.10$ の方向の強度 $I$ と $I_0$ の比 $\frac{I}{I_0}$ を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で答えよ。

空気（屈折率 $n_1=1.0$）中に、屈折率 $n_2=1.5$ の十分長いガラス棒が置かれている。ガラス棒の左端は、曲率半径 $5.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心がガラスの内側にある）に磨かれている。この球面の頂点から左に $30\text{cm}$ 離れた光軸上に点光源を置く。近軸近似のもとで、球面での屈折の式
$$\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s^{\prime }}=\frac{n_2-n_1}{R}$$
を使う。ここで $s$ は頂点から物体までの距離（物体が球面の左側にあるとき正）、$s^{\prime }$ は頂点から像までの距離（像が球面の右側、つまりガラスの中にあるとき正）、$R$ は曲率半径（曲率中心が球面の右側にあるとき正）とする。ガラスの中にできる像の位置は、球面の頂点から何 cm 右か。

空気（屈折率 $n_1=1$）から屈折率 $n_2=\sqrt{3}$ の平らなガラス面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で非干渉に重なった光）を入射させる。入射角をブリュースター角 ${\theta }_B$ にしたとき、反射光の強度は入射光の強度の何倍か。ただし、s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
（${\theta }_i$ は入射角、${\theta }_t$ は屈折角）で与えられ、強度反射率は $|r_s{|}^2$ であるとする。ガラスでの吸収と、ガラスの裏面からの反射は考えない。答えは分数で答えよ。

屈折率 $n_1=\sqrt{2}$ のガラスの中から、屈折率 $n_2=1$ の空気との平らな境界面に、s 偏光の光が入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射する。s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
で与えられ（${\theta }_t$ は屈折角）、臨界角を超える入射では屈折の法則 $n_1\sin {\theta }_i=n_2\sin {\theta }_t$ を満たす $\cos {\theta }_t$ を
$$n_2\cos {\theta }_t=i\sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_i-n_2^2}$$
ととる（$i$ は虚数単位）。このとき $r_s=e^{i{\delta }_s}$ と表される。反射による位相の変化 ${\delta }_s$ を $-\pi <{\delta }_s\le \pi$ の範囲で求めよ。

幅 $a=1.5\mu \text{m}$ のスリットが間隔（隣り合うスリットの中心間の距離）$d=4.5\mu \text{m}$ で $N$ 本（$N\ge 2$）並んだ多スリットに、波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色の平面波が垂直に入射する。十分遠方で観測すると、回折角 $\theta$ の方向の強度は
$$I\propto {\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2{\left(\frac{\sin N\gamma }{\sin \gamma }\right)}^2,\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda },\gamma =\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }$$
で表される。$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ の範囲で、実際に観測される主極大の個数を求めよ。ただし、主極大の位置で単スリットの回折の因子 ${\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$ が $0$ になる次数（欠落次数）は観測されないものとし、それ以外の主極大はすべて観測されるものとする。

波長 $600.0\text{nm}$ と $600.2\text{nm}$ の 2 本のスペクトル線を、回折格子の 2 次の回折光（$m=2$）で分けて観測したい。レイリーの基準で 2 本の線が分解されるための条件を
$$\frac{\lambda }{\Delta \lambda }\le mN$$
（$\lambda =600.0\text{nm}$、$\Delta \lambda$ は 2 本の線の波長の差、$N$ は光が当たっている格子の本数）とする。2 本の線を分解するのに必要な格子の本数 $N$ の最小値を求めよ。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射させる。入射角は、p 偏光（入射面内に電場が振動する成分）の反射率が $0$ となるブリュースター角に選ぶ。このとき、入射光のエネルギー（強度）のうち反射される割合を、正確な値（分数）で求めよ。ただし、自然光は互いに強度の等しい s 偏光と p 偏光の非干渉な重ね合わせとみなし、反射率はフレネルの式で与えられるものとする。

空気中（屈折率 $1$）で、幅 $a$ の 2 本の細長いスリットを、中心間の距離 $d=4a$ で平行に並べた複スリットに、波長 $\lambda$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させる。十分遠方のスクリーン上（フラウンホーファー回折）に現れる明暗の縞を観測する。ただし $\lambda <a$ とする。

各スリットの単スリット回折による強度分布の中央の山（最初の暗線 $a\sin \theta =\pm \lambda$ にはさまれた範囲、両端の暗線上は含めない）の内側に現れる、2 本のスリットからの光の干渉による明線は何本あるか。

空気中（屈折率 $1$）で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ ${\mathrm{L}}_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\mathrm{cm}$ の薄い凹レンズ ${\mathrm{L}}_2$ を、共通の光軸上に間隔 $d=15\mathrm{cm}$ で置く。光は ${\mathrm{L}}_1$ の側から入射する。近軸光線近似が成り立つものとする。

このレンズ系全体の（後側）合成焦点距離は何 $\mathrm{cm}$ か。ただし合成焦点距離は、光線行列（ABCD 行列）を
$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$
としたとき $f=-\frac{1}{C}$ で定め、光線の状態は（光軸からの高さ $y$、光軸となす角 $\theta$）の列ベクトルで表すものとする。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、s 偏光（電場が入射面に垂直に振動する）の単色平面波を入射角 $\frac{\pi }{4}$ で入射させる。境界面での強度反射率 $R_s$（入射光の強度に対する反射光の強度の比）を、根号を含む正確な値で求めよ。

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=20\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を、同じ光軸上に間隔 $d=15\text{cm}$ で置き、光が $L_1$、$L_2$ の順に通るようにした（望遠レンズの構成）。近軸近似のもとで、この 2 枚のレンズからなる系全体の有効焦点距離 $f$ を $\text{cm}$ 単位で求めよ。光線行列（ABCD 行列）を用いて求めてよい。

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=10\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-20\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を同じ光軸上に置き、$L_2$ を $L_1$ の後方（光の進む側）$10\text{cm}$ の位置に置いた。$L_1$ の前方 $30\text{cm}$ の光軸上に、光軸に垂直に小さな物体を置く。光が $L_1$、$L_2$ の順に通ってできる最終的な像の横倍率（像の高さ $/$ 物体の高さ。倒立像なら負とする）を求めよ。ただし近軸近似を用いる。

強度 $I_0$ の偏光していない（自然光の）単色平面波を、3 枚の理想的な直線偏光板 $P_1$, $P_2$, $P_3$ にこの順に垂直に通す。光の進む向きに垂直な面内で、$P_1$ の透過軸を基準として、$P_2$ の透過軸は角 $\frac{\pi }{6}$、$P_3$ の透過軸は角 $\frac{\pi }{2}$ だけ同じ向きに回転している。$P_3$ を通過した後の光の強度 $I$ と $I_0$ の比 $\frac{I}{I_0}$ を求めよ。ただし、偏光板は透過軸に平行な電場成分を損失なく通し、垂直な成分を完全に吸収するものとし、偏光板の表面での反射は無視する。

屈折率 $n=1.50$ の十分長いガラス棒の一端が、半径 $R=2.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心はガラスの内部にある）に磨かれている。棒の中心軸を光軸とし、空気（屈折率 $1$）中で、球面の頂点から光軸上を外側へ $8.0\text{cm}$ 離れた位置に小さな点光源を置く。球面での屈折によって、ガラスの内部に像ができる。球面の頂点から像までの距離を $\text{cm}$ 単位で求めよ。ただし近軸近似を用い、棒のもう一方の端は考えなくてよい。

一軸性結晶の平行平板を、光学軸が板の面に平行になるように切り出して、真空中の波長 $\lambda =630\text{nm}$ の単色光に対する $\frac{1}{4}$ 波長板を作りたい。この波長での常光線の屈折率を $n_o$、異常光線の屈折率を $n_e$ とし、$n_e-n_o=9.00\times 10^{-3}$ とする。光を板の面に垂直に入射させるとき、板を通過した常光線と異常光線（光学軸に垂直・平行に振動する成分）の位相差がちょうど $\frac{\pi }{2}$ になるような板の厚さのうち、最小のものを $\mu \text{m}$ 単位で求めよ。ただし、板の表面での反射は無視する。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{4}$ で入射させる。

反射光の強度のうち、s 偏光成分（電場が入射面に垂直）の強度を $I_s$、p 偏光成分（電場が入射面内）の強度を $I_p$ とし、反射光の偏光度を
$$P=\frac{I_s-I_p}{I_s+I_p}$$
で定義する。$P$ の値を求めよ。ただし、自然光は s 偏光成分と p 偏光成分を等しい強度で含み、両者は互いにインコヒーレントであるとする。

屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様で等方的な透明ガラス（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の内部から、ガラスと空気（屈折率 $1$）の平らな境界面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{6}$ で入射させる。p 偏光は入射面内に電場が振動する成分、s 偏光は入射面に垂直に電場が振動する成分とし、自然光は互いにインコヒーレントで強度の等しい p 偏光成分と s 偏光成分からなるとする。空気中へ透過した光のうち、p 偏光成分の強度を $I_p$、s 偏光成分の強度を $I_s$ とする。透過光の偏光度を $P=\frac{|I_p-I_s|}{I_p+I_s}$ で定義するとき、$P$ の値を既約分数で求めよ。ただし、フレネルの式を用い、各偏光成分について境界面での吸収はなく、エネルギー（パワー）は反射光と透過光に分かれるだけであるとする。

空気（屈折率 $1$ とみなす）中に置いたマイケルソン干渉計に、ナトリウムランプの光を入れる。この光は、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.0\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.6\text{nm}$ の 2 本のスペクトル線だけからなるとする。2 本の線の強度は等しく、それぞれの線の幅は無視できる。また、2 本の線は互いにインコヒーレントである。光は 2 枚の鏡に垂直に入射し、ビームスプリッターによる光路差は補償板で打ち消されている。

一方の鏡（可動鏡）を光軸に沿ってゆっくり動かすと、観測点での干渉縞の鮮明度（ビジビリティ）が周期的に変化した。鮮明度が最小になる可動鏡の位置から、次に鮮明度が最小になる位置まで、可動鏡を動かす距離は何 mm か。有効数字 3 桁で求めよ。

夜間、黒い板の上に、間隔 $\Delta x=2.0\text{mm}$ で 2 個の小さな緑色 LED（点光源とみなす）が並んでいる。LED はどちらも真空中の波長 $\lambda =5.0\times 10^2\text{nm}$ の単色光を出し、互いにインコヒーレントである。この 2 つの点光源を、瞳孔の直径が $D=3.0\text{mm}$ の目で、板に垂直な方向から見る。

目の分解能は瞳孔（空気中に置かれた直径 $D$ の円形開口とみなす）による回折だけで決まるものとし、レイリーの判定条件、すなわち 2 点光源を見込む角が
$${\theta }_{\min }=1.22\frac{\lambda }{D}$$
のときに 2 点がちょうど分解できるものとする。空気の屈折率は $1$ とし、角は十分小さいので $\tan \theta \approx \theta$ と近似してよい。目の網膜の構造による制限や眼球内部の屈折率の影響は考えない。

2 つの LED を 2 点として見分けられる、目から板までの距離の最大値 $L_{\max }$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の平凸レンズの凸面を、平らなガラス板の上に置く。レンズと板は中心の 1 点で接している。レンズと板のすき間を、屈折率 $n$ の透明な液体で満たす。レンズとガラス板はどちらも屈折率 $1.65$ のガラスでできていて、$1<n<1.65$ とする。

真上から真空中の波長 $\lambda =550\text{nm}$ の単色光を垂直に入射させ、反射光でニュートンリングを観察する。中心の暗点は数えず、中心から外側へ数えて 10 番目の暗環の半径を測ると、$r_{10}=2.03\text{mm}$ であった。

この液体の屈折率 $n$ を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、光はほぼ垂直に入射・反射するとみなす。すき間の厚さ $t$ は中心からの距離 $r$ の点で $t\approx \frac{r^2}{2R}$ と近似してよい（$r\ll R$）。屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ向かう光が境界で反射するときだけ、位相が $\pi$ ずれるものとする。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\frac{\sqrt{6}}{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、単色の直線偏光の平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射させる。入射光の p 偏光成分（入射面内に電場が振動する成分）と s 偏光成分（入射面に垂直に電場が振動する成分）の振幅は等しく、位相もそろっている。

反射光も直線偏光になる。反射光の電場の p 成分の振幅の大きさを $|E_p^{\mathrm{r}}|$、s 成分の振幅の大きさを $|E_s^{\mathrm{r}}|$ とし、反射光の電場の振動方向と「入射面内にあって反射光の進行方向に垂直な方向（p 方向）」とのなす角 $\psi$ $\left(0\le \psi \le \frac{\pi }{2}\right)$ を
$$\tan \psi =\frac{|E_s^{\mathrm{r}}|}{|E_p^{\mathrm{r}}|}$$
で定める。$\psi$ を弧度法で求めよ。ただし、振幅反射率はフレネルの式で与えられるものとする。

等間隔に並んだ $N$ 本の同じ幅のスリットからなる透過型回折格子に、波長 $\lambda$ 付近の 2 つの波長 $\lambda$ と $\lambda +\Delta \lambda$ を含む平面波を格子面に垂直に入射させ、十分遠方（フラウンホーファー回折）でスペクトルを観測する。格子の周期（隣り合うスリットの中心間隔）は $d=4.2\lambda$、各スリットの幅は $a=1.05\lambda$ であり、スリットの開口内では振幅は一様とする。また $\lambda /\Delta \lambda =1200$ とする。

回折角が $90^{\circ }$ 未満で現れる主極大のうち、単スリット回折の強度が $0$ になる方向と重なって消える次数（欠落次数）は使えないものとする。使える次数のうち 2 つの波長を最もよく分解できる次数を用いたとき、レイリーの基準（分解能 $\lambda /\Delta {\lambda }_{\min }=mN$、$m$ は次数）で 2 つの波長が分解できるために必要なスリットの本数 $N$ の最小値を求めよ。ただし、$\Delta \lambda$ は $\lambda$ に比べて十分小さく、どの次数が現れるか・欠落するかの判定は波長 $\lambda$ で行ってよい。

真空中に置かれたマイケルソン干渉計の一方の腕に、光路に沿った内側の長さが $L=5.0\mathrm{cm}$ の透明な気体セルを置く。光はこの腕を往復するので、セルの中を 2 回通過する。セルの窓は薄く、その影響は無視できる。光源は波長（真空中）$\lambda =600\mathrm{nm}$ の単色光で、観測面の中心にできる干渉縞の明暗を観測する。

はじめセルには圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の気体が満たされており、この気体の屈折率は $n=1+2.7\times 10^{-4}$ である。温度を一定に保ったまま、セルから気体をゆっくり抜いて圧力を $4.0\times 10^4\mathrm{Pa}$ まで下げた。気体の屈折率 $n$ について、$n-1$ は（温度一定のとき）圧力に比例するものとする。

この間に、観測面の中心を通過した明線（明るい縞）の本数を求めよ。

屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明ガラス（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の中から、ガラスと空気（屈折率 $1$）の平らな境界面に、単色の平面波を入射角 $\theta =\frac{\pi }{3}$ で入射させる。入射光は直線偏光で、その電場の振動方向は入射面と $\frac{\pi }{4}$ の角をなしている（すなわち、p 偏光成分と s 偏光成分の振幅が等しく、位相もそろっている）。

反射光は一般に楕円偏光になる。反射光の偏光の楕円の短軸の長さを長軸の長さで割った比を、既約分数で求めよ。ただし、境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。

屈折率 $1.60$ の平らなガラス板の表面に、屈折率 $1.40$ の一様な厚さ $d$ の透明な薄膜がつけられている。空気（屈折率 $1$）中から白色光を膜面に垂直に入射させ、反射光のスペクトルを調べたところ、真空中の波長が $420\text{nm}$ 以上 $700\text{nm}$ 以下の範囲で反射光の強度が極大となる波長は $480\text{nm}$ と $600\text{nm}$ の 2 つだけであった。屈折率は波長によらないものとし、膜の上面と下面で 1 回ずつ反射した 2 つの光の干渉だけを考える。膜の厚さ $d$ を $\text{nm}$ 単位で、分数の形の正確な値で求めよ。

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の球面をもつ平凸レンズ（屈折率 $1.50$）を、球面を下にして平面ガラス板（屈折率 $1.80$）の上に置き、接点で両者が接するようにする。レンズと板の間のすき間を屈折率 $1.60$ の透明な液体で満たし、真上から真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色光を垂直に当てて、反射光でニュートンリングを観察する。接点を中心とする明るい環のうち、中心の明るい点を除いて内側から数えて $4$ 番目の明るい環の半径を $\text{mm}$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。ただし、すき間の厚さ $d$ は接点からの距離 $r$ を用いて $d=\frac{r^2}{2R}$ と近似でき、光はすき間をほぼ垂直に往復するものとする。また、すき間の上面と下面で 1 回ずつ反射した光の干渉だけを考える。

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。

空気（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=1.5$ のガラスでできた厚い両凸レンズが置かれている。光は左から右へ進む。第1面（左側の面）の曲率半径は $R_1=+6\text{cm}$、第2面（右側の面）の曲率半径は $R_2=-12\text{cm}$ である。曲率半径の符号は、曲率中心が面の頂点より右側にあるとき正とする。光軸上の頂点間の距離（レンズの厚さ）は $d=3\text{cm}$ である。

第1面の頂点から左へ $30\text{cm}$ の位置に、光軸に垂直な小さな物体を置いた。近軸近似が成り立つものとし、光線を列ベクトル $\left(\begin{array}{c}y\\ n\theta \end{array}\right)$（$y$ は光軸からの高さ、$\theta$ は光軸となす角、$n$ はその場所の屈折率）で表す光線行列（ABCD 行列）の方法を用いる。このとき、レンズによってできる像の位置は、第2面の頂点から右へ何 cm のところか。既約分数で答えよ。

空気（屈折率 $1$）中に透過型回折格子を置く。この格子は、幅 $a=0.625\mu \text{m}$ の同じスリットが周期 $d=2.50\mu \text{m}$（$1\text{mm}$ あたり $400$ 本）で平行に並んだものである。格子面に垂直に、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.00\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.59\text{nm}$ の 2 つの成分を含む平面波を入射させる。光は格子のうち $N$ 本のスリットを一様に照らしている。回折光は十分遠方で観測する（フラウンホーファー回折）。各スリット内の光の振幅は一様とする。

次数 $m$ の主極大のうち、$\sin \theta <1$ を満たし、しかも両方の波長について強度が $0$ にならないものだけが観測できるとする。観測できる主極大のうち最も大きい次数を使って、この 2 つの波長を分解したい。分解できる条件は、レイリーの基準とする。すなわち、${\lambda }_2$ の $m$ 次の主極大の位置が、${\lambda }_1$ の $m$ 次の主極大に隣り合う長波長側（$\theta$ が大きい側）の最初の暗線の位置と一致するか、それより外側にあるとき、分解できるとする。

このとき、照らされるスリットの本数 $N$ の最小値を整数で求めよ。

空気（屈折率 $1$）中で、光軸上に薄いレンズを等間隔 $d(d>0)$ で無限に並べたレンズ列（レンズ導波路）を考える。レンズを光軸上の位置 $z=0,d,2d,3d,\dots$ に置き、$z=0$ のレンズから順に $L_0,L_1,L_2,\dots$ とよぶ。$L_0,L_2,L_4,\dots$（偶数番目）は焦点距離 $f$ の凸レンズ、$L_1,L_3,L_5,\dots$（奇数番目）は焦点距離 $-f$ の凹レンズである（$f>0$）。光線は近軸光線とし、光線の状態を光軸からの高さ $y$ と光軸に対する傾き $\theta$ の組 $(y,\theta )$ で表す。レンズは厚さを無視できる理想的な薄いレンズとし、収差は考えない。

$L_0$ の直前（$z=0$ の入射側）で $(y,\theta )$ の状態にあった光線が、16 枚のレンズ $L_0,L_1,\dots ,L_{15}$ を通過して $L_{16}$ の直前（$z=16d$ の入射側）に達したとき、その状態がもとの $(y,\theta )$ と一致したとする。これがどのような $(y,\theta )$ の光線についても成り立つような間隔 $d$ のうち、最小のものを $f$ を用いて表せ。

空気（屈折率 $1$）中でヤングの干渉実験を行う。

• 2 本の細いスリット $S_1$, $S_2$ がある面をスリット面とする。スリット面内でスリットに垂直な向きに $x$ 軸をとり、$S_1$ を $x=+\frac{d}{2}$、$S_2$ を $x=-\frac{d}{2}$ に置く。間隔は $d=0.50\text{mm}$ である。
• スリット面から光源側へ $D=0.50\text{m}$ 離れた位置に、スリットに平行な細い線状の白色光源を置く。光源の $x$ 座標は $s=+1.0\text{mm}$ である。
• スリット面から反対側へ $L=1.00\text{m}$ 離れた位置に、スリット面に平行なスクリーンを置く。スクリーン上の位置も同じ向きの $x$ 座標で表す。
• $S_1$ の直後だけを、厚さ $t=6.0\mu \text{m}$、屈折率 $n=1.50$ の薄い透明板で覆う。光は板をほぼ垂直に通過するものとし、板による光路長の増加は $(n-1)t$ とする。

スクリーン上には、2 つの経路の光路差が $0$ になる位置に白色の明線（0 次の明線）が 1 本だけ現れる。この明線の位置の $x$ 座標は何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。

空気中（屈折率 $1$）に置いた透過型回折格子は、幅 $a$ の同じスリットが周期 $d$ で多数並んだものであり、$d=3a$ である。この格子に、真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を、格子の法線に対して入射角 ${\theta }_0$ で斜めに入射させる。ここで $\sin {\theta }_0=\frac{1}{2}$、$d=6.4\lambda$ とする。透過側の十分遠方（フラウンホーファー回折）で、回折角 $\theta$（格子の法線から、入射光の傾きと同じ向きを正として測る）の方向に現れる主極大（格子の干渉による明線）のうち、実際に観測される（強度が $0$ でない）ものの個数を求めよ。ただし、$|\sin \theta |=1$ となる方向（格子面に沿う方向）には明線は観測されないものとし、スリット 1 本による回折の強度が $0$ となる方向と主極大の方向がちょうど一致するときは、その主極大は消える（欠落する）ものとする。

空気（屈折率 $1$）中に、半径 $R$、屈折率 $n$ の一様な透明ガラス球（ボールレンズ）が置かれている。ただし $1<n<2$ とする。球の中心を通る直線を光軸とし、光軸に平行な近軸光線の束を球の一方の側から入射させる。球を通過した光線が光軸と交わる点（後側焦点）は、光が球から出ていく側の球面と光軸の交点から、光の進む向きにどれだけ離れているか。この距離を $n$, $R$ を用いて表せ。ただし近軸近似を用い、反射や吸収は無視する。光線行列（ABCD 行列）を用いて求めてよい。

空気（屈折率 $1$）中に、2 枚の同じ平面の半透鏡を、反射面が互いに平行になるように間隔 $d$ で向かい合わせて置いた（ファブリー・ペロー干渉計）。各半透鏡の強度反射率は $R=0.80$ で、光の吸収はない（強度透過率は $1-R$）。真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を鏡面に垂直に入射させ、2 枚の鏡の間で何度も反射しながら透過してくるすべての光の重ね合わせとして透過光の強度 $I_t$ を考える。間隔 $d$ を波長程度の範囲でゆっくり変えたとき、$I_t$ の最小値と最大値の比 $\frac{I_{t,\min }}{I_{t,\max }}$ を求めよ。ただし、各鏡での反射・透過で振幅に生じる位相の変化は $d$ によらない一定値であり、光は鏡の間を往復するたびに位相 $\delta =\frac{4\pi d}{\lambda }$（に一定値を加えたもの）だけ遅れるものとする。

空気（屈折率 $1$）中でヤングの干渉実験を行う。光源は、幅 $w=0.40\text{mm}$ の細長い一様な帯状の光源（スリット状の光源）で、帯の長さの方向は二重スリットのスリットに平行である。光源の各点は互いにインコヒーレントに、真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色光を一様な強さで出す。

光源から距離 $L_0=0.40\text{m}$ の位置に、光源の面と平行に、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ の 2 本の十分に細い平行スリットを置き、光源の帯の中心は 2 本のスリットの中点から二重スリットの面に引いた垂線上にある。さらに、二重スリットから距離 $L=1.0\text{m}$ の位置に、スリットの面と平行なスクリーンを置く。

スクリーンの中心付近に現れる干渉縞の可視度
$$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$$
を、正確な値（$\pi$ を含む式）で求めよ。ただし、$w,d\ll L_0$ および $d$ と観測点の位置 $\ll L$ として近軸近似を用い、2 本のスリットを通った光の振幅は等しく、スリット幅による回折の効果（包絡線）は考えなくてよいものとする。