光学の問題

マイケルソン干渉計の一方の腕に、光が往復で通過する向きに長さ $L=5.0\mathrm{cm}$ の透明な容器（セル）を置く。はじめセルの中は真空（屈折率 $1$）で、そこへゆっくり気体を入れていくと、セル内の屈折率が $1$ から $1.00030$ まで連続的に増えた。光源は真空中での波長 $\lambda =600\mathrm{nm}$ の単色光で、光は鏡で反射してセルを 2 回（往きと帰り）通る。セルの窓の厚さの影響と、ほかの部分の光路の変化は無視する。この間に観測点を通過した干渉縞（明線）は何本か。

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の球面をもつ平凸レンズ（屈折率 $1.50$）を、球面を下にして平面ガラス板（屈折率 $1.80$）の上に置き、接点で両者が接するようにする。レンズと板の間のすき間を屈折率 $1.60$ の透明な液体で満たし、真上から真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色光を垂直に当てて、反射光でニュートンリングを観察する。接点を中心とする明るい環のうち、中心の明るい点を除いて内側から数えて $4$ 番目の明るい環の半径を $\text{mm}$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。ただし、すき間の厚さ $d$ は接点からの距離 $r$ を用いて $d=\frac{r^2}{2R}$ と近似でき、光はすき間をほぼ垂直に往復するものとする。また、すき間の上面と下面で 1 回ずつ反射した光の干渉だけを考える。

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。

空気（屈折率 $1$）中に透過型回折格子を置く。この格子は、幅 $a=0.625\mu \text{m}$ の同じスリットが周期 $d=2.50\mu \text{m}$（$1\text{mm}$ あたり $400$ 本）で平行に並んだものである。格子面に垂直に、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.00\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.59\text{nm}$ の 2 つの成分を含む平面波を入射させる。光は格子のうち $N$ 本のスリットを一様に照らしている。回折光は十分遠方で観測する（フラウンホーファー回折）。各スリット内の光の振幅は一様とする。

次数 $m$ の主極大のうち、$\sin \theta <1$ を満たし、しかも両方の波長について強度が $0$ にならないものだけが観測できるとする。観測できる主極大のうち最も大きい次数を使って、この 2 つの波長を分解したい。分解できる条件は、レイリーの基準とする。すなわち、${\lambda }_2$ の $m$ 次の主極大の位置が、${\lambda }_1$ の $m$ 次の主極大に隣り合う長波長側（$\theta$ が大きい側）の最初の暗線の位置と一致するか、それより外側にあるとき、分解できるとする。

このとき、照らされるスリットの本数 $N$ の最小値を整数で求めよ。

空気（屈折率 $1$）中でヤングの干渉実験を行う。

• 2 本の細いスリット $S_1$, $S_2$ がある面をスリット面とする。スリット面内でスリットに垂直な向きに $x$ 軸をとり、$S_1$ を $x=+\frac{d}{2}$、$S_2$ を $x=-\frac{d}{2}$ に置く。間隔は $d=0.50\text{mm}$ である。
• スリット面から光源側へ $D=0.50\text{m}$ 離れた位置に、スリットに平行な細い線状の白色光源を置く。光源の $x$ 座標は $s=+1.0\text{mm}$ である。
• スリット面から反対側へ $L=1.00\text{m}$ 離れた位置に、スリット面に平行なスクリーンを置く。スクリーン上の位置も同じ向きの $x$ 座標で表す。
• $S_1$ の直後だけを、厚さ $t=6.0\mu \text{m}$、屈折率 $n=1.50$ の薄い透明板で覆う。光は板をほぼ垂直に通過するものとし、板による光路長の増加は $(n-1)t$ とする。

スクリーン上には、2 つの経路の光路差が $0$ になる位置に白色の明線（0 次の明線）が 1 本だけ現れる。この明線の位置の $x$ 座標は何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。