光学の問題

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気中（屈折率 $1$）で、幅 $a$ の 2 本の細長いスリットを、中心間の距離 $d=4a$ で平行に並べた複スリットに、波長 $\lambda$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させる。十分遠方のスクリーン上（フラウンホーファー回折）に現れる明暗の縞を観測する。ただし $\lambda <a$ とする。

各スリットの単スリット回折による強度分布の中央の山（最初の暗線 $a\sin \theta =\pm \lambda$ にはさまれた範囲、両端の暗線上は含めない）の内側に現れる、2 本のスリットからの光の干渉による明線は何本あるか。

空気中（屈折率 $1$）に置いた透過型回折格子は、幅 $a$ の同じスリットが周期 $d$ で多数並んだものであり、$d=3a$ である。この格子に、真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を、格子の法線に対して入射角 ${\theta }_0$ で斜めに入射させる。ここで $\sin {\theta }_0=\frac{1}{2}$、$d=6.4\lambda$ とする。透過側の十分遠方（フラウンホーファー回折）で、回折角 $\theta$（格子の法線から、入射光の傾きと同じ向きを正として測る）の方向に現れる主極大（格子の干渉による明線）のうち、実際に観測される（強度が $0$ でない）ものの個数を求めよ。ただし、$|\sin \theta |=1$ となる方向（格子面に沿う方向）には明線は観測されないものとし、スリット 1 本による回折の強度が $0$ となる方向と主極大の方向がちょうど一致するときは、その主極大は消える（欠落する）ものとする。

空気（屈折率 $1$）中に透過型回折格子を置く。この格子は、幅 $a=0.625\mu \text{m}$ の同じスリットが周期 $d=2.50\mu \text{m}$（$1\text{mm}$ あたり $400$ 本）で平行に並んだものである。格子面に垂直に、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.00\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.59\text{nm}$ の 2 つの成分を含む平面波を入射させる。光は格子のうち $N$ 本のスリットを一様に照らしている。回折光は十分遠方で観測する（フラウンホーファー回折）。各スリット内の光の振幅は一様とする。

次数 $m$ の主極大のうち、$\sin \theta <1$ を満たし、しかも両方の波長について強度が $0$ にならないものだけが観測できるとする。観測できる主極大のうち最も大きい次数を使って、この 2 つの波長を分解したい。分解できる条件は、レイリーの基準とする。すなわち、${\lambda }_2$ の $m$ 次の主極大の位置が、${\lambda }_1$ の $m$ 次の主極大に隣り合う長波長側（$\theta$ が大きい側）の最初の暗線の位置と一致するか、それより外側にあるとき、分解できるとする。

このとき、照らされるスリットの本数 $N$ の最小値を整数で求めよ。

等間隔に並んだ $N$ 本の同じ幅のスリットからなる透過型回折格子に、波長 $\lambda$ 付近の 2 つの波長 $\lambda$ と $\lambda +\Delta \lambda$ を含む平面波を格子面に垂直に入射させ、十分遠方（フラウンホーファー回折）でスペクトルを観測する。格子の周期（隣り合うスリットの中心間隔）は $d=4.2\lambda$、各スリットの幅は $a=1.05\lambda$ であり、スリットの開口内では振幅は一様とする。また $\lambda /\Delta \lambda =1200$ とする。

回折角が $90^{\circ }$ 未満で現れる主極大のうち、単スリット回折の強度が $0$ になる方向と重なって消える次数（欠落次数）は使えないものとする。使える次数のうち 2 つの波長を最もよく分解できる次数を用いたとき、レイリーの基準（分解能 $\lambda /\Delta {\lambda }_{\min }=mN$、$m$ は次数）で 2 つの波長が分解できるために必要なスリットの本数 $N$ の最小値を求めよ。ただし、$\Delta \lambda$ は $\lambda$ に比べて十分小さく、どの次数が現れるか・欠落するかの判定は波長 $\lambda$ で行ってよい。