ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折

波面とホイヘンスの原理：波の振動の状態（山の頂上、谷の底など）がそろっている点を連ねた面や線を波面といいます。波の進行方向を表す線（射線）は波面に垂直です。ホイヘンスの原理とは、ある時刻の波面上の各点が、それぞれ新しい波源となって球面状（水面なら円形）の小さな波を出す、という考え方です。この小さな波を素元波といい、波の速さを $v$ とすると時間 $t$ 後の素元波の半径は $vt$ です。多数の素元波に共通に接する面（包絡面）が、時間 $t$ 後の新しい波面になります。

角の測り方の準備：入射角・反射角・屈折角は、境界面の法線と射線のなす角で測ります。この角は、波面と境界面のなす角に等しくなります。理由：射線と波面は垂直、法線と境界面も垂直です。つまり、波面と境界面は、射線と法線をそれぞれ $90^{\circ }$ 回した直線になっています。2 本の直線をそろって同じだけ回しても、なす角は変わりません（中学の図形でいう「2 辺がそれぞれ垂直な 2 つの鋭角は等しい」）。以下ではこの性質を使い、入射角などを波面と境界面のなす角として三角形の中で表します。

反射：境界面に斜めに届いた平面波の波面 AB を考え、端 A が先に境界面に着いたとします。もう一方の端 B が境界面上の点 B' に着くまでの時間を $t$ とすると $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }=vt$ です。射線 BB' は波面 AB に垂直なので、三角形 ABB' は角 B が直角です。そして角 BAB'（波面と境界面のなす角）が入射角 $i$ に等しいので、$\sin i=\frac{vt}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}$ です。同じ時間に A から出た素元波の半径も、同じ媒質なので $vt$ です。反射波の波面はこの素元波に B' から引いた接線 A'B' で、接点を A' とすると $\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }=vt$、角 A' は直角です。角 AB'A'（反射波の波面と境界面のなす角）が反射角 $j$ に等しいので $\sin j=\frac{vt}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}$ となります。よって $\sin i=\sin j$ で、どちらも $0^{\circ }$ と $90^{\circ }$ の間の角なので $i=j$ です（直角三角形 ABB' と B'A'A が、斜辺 AB' を共有し、もう 1 辺の長さも $vt$ で等しいので合同、と見ても同じです）。同じ媒質に戻るので、速さ・振動数・波長は変わりません。

屈折：媒質 1（速さ $v_1$）から媒質 2（速さ $v_2$）へ進む場合も同じ図で考えます。B が B' に着く間に $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }=v_{1}t$ なので、上と同じ理由で $\sin i=\frac{v_{1}t}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}$ です。A から媒質 2 の中へ出た素元波の半径は $\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }=v_{2}t$ で、屈折波の波面はこれに B' から引いた接線 A'B'（角 A' が直角）です。角 AB'A' が屈折角 $r$ に等しいので $\sin r=\frac{v_{2}t}{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}$ となり、$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}$ が得られます。また、境界面の点は届いた波に揺らされて媒質 2 側へ波を送り出すので、1 秒間に届く波の数と送り出す波の数は同じです。つまり振動数 $f$ は変わりません。$v=f\lambda$ より $\lambda =\frac{v}{f}$ なので、波長は速さに比例し、$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$（屈折の法則。この一定値を媒質 1 に対する媒質 2 の屈折率 $n_{12}$ という）となります。

回折：すき間を通る波面のうち、すき間の部分だけが素元波を出します。すき間の幅が波長に比べて十分小さいと、すき間はほぼ 1 点の波源とみなせ、波は円形に大きく広がります。すき間が波長に比べて十分広いと、素元波の包絡面はほぼまっすぐのままで、端の近くで少し回り込むだけです。したがって、すき間（障害物）に比べて波長が長いほど回折は目立ちます。