光の屈折率・全反射・分散

光速と屈折率 $n = \frac{c}{v}$ の関係、屈折で振動数が変わらないこと、全反射が屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進むとき臨界角より大きい入射角で起こること、分散（紫ほど屈折率が大きい）を判定できる

前提

ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））

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ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））

説明

光がガラスや水に入ると速さが変わります。その変わり方を数で表したものが屈折率 $n = \frac{c}{v}$ です。屈折率を使うと、光が境界でどちらに曲がるか、全反射がいつ起こるか、プリズムや虹で白色光が色に分かれる(分散)理由を判定できます。光ファイバー、宝石の輝き、プリズムによるスペクトルなどを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

前提で学んだ屈折の法則では、媒質1から媒質2へ進む波について $\frac{sin θ _{1}}{sin θ _{2}} = \frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{λ _{1}}{λ _{2}}$ が成り立ち、振動数は変わりません。光の場合は、真空中の光速 $c$ を基準にして、媒質中の光速 $v$ との比 $n = \frac{c}{v}$ をその媒質の(絶対)屈折率と決めます。物質中の光は真空中より遅いので $n > 1$ です(空気はほぼ $1$ )。 $v = \frac{c}{n}$ なので $\frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ となり、屈折の法則は $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ と書けます。振動数 $f$ は変わらないので、媒質中の波長は $λ = \frac{v}{f} = \frac{λ _{0}}{n}$ ( $λ_{0}$ は真空中の波長)と短くなります。

屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進む( $n_{1} > n_{2}$ )と、 $sin θ_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin θ_{1} > sin θ_{1}$ なので屈折角は入射角より大きくなります。入射角を大きくしていくと、屈折角が $9 0^{\circ}$ に達する入射角 $θ_{c}$ (臨界角)があり、 $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ です。これより大きい入射角では $sin θ_{2} > 1$ となって屈折光が存在できず、光はすべて反射されます。これが全反射です。逆向き( $n_{1} < n_{2}$ )では屈折角は常に入射角より小さいので、全反射は起こりません。

また、ガラスや水の中での光の速さは色(波長)によってわずかに異なり、紫の光ほど遅い、つまり屈折率が大きくなります。そのため白色光がプリズムに入ると、紫ほど大きく曲がり、色ごとに分かれます。これを分散といいます。なお真空中では、どの色の光も同じ速さ $c$ で進みます。

手順

屈折率と速さ・波長を結びつける: $v = \frac{c}{n}$ 、 $λ = \frac{λ _{0}}{n}$ 。屈折率が大きい媒質ほど光は遅く、波長は短い
境界を通っても振動数(光の色)は変わらないことを確認する: $f$ は一定
曲がり方を屈折の法則で判定する: $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ 。屈折率の大きい側のほうが、法線となす角が小さい
全反射の条件を確かめる: $n_{1} > n_{2}$ (屈折率の大きい側から小さい側へ)で、入射角が臨界角 $θ_{c}$ ( $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ 、空気へ出るなら $sin θ_{c} = \frac{1}{n _{1}}$ )より大きいとき
分散を判定する:ガラスや水では紫の光ほど屈折率が大きく、媒質中で遅く、屈折で大きく曲がる(赤はその逆)

例題

光の屈折・全反射・分散について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア光が空気中からガラス中に入ると、光の振動数は小さくなる。
イ全反射は、光が屈折率の小さい媒質から屈折率の大きい媒質へ進むとき、入射角が臨界角より大きいと起こる。
ウガラス中では、紫色の光は赤色の光より屈折率が大きく、ガラス中を進む速さは小さい。
エ屈折率 $1.5$ のガラス中を進む光の速さは、真空中の光の速さの $1.5$ 倍である。

例題の解答

手順2より、境界を通っても振動数は変わらない。変わるのは速さと波長( $λ = \frac{λ _{0}}{n}$ )なので、アは誤り。
手順4より、全反射が起こるのは屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進むとき( $n_{1} > n_{2}$ )である。小さい側から大きい側へ進むときは屈折角が入射角より常に小さく、屈折光が必ず存在するので全反射は起こらない。イは誤り。
手順5より、ガラス中では紫の光ほど屈折率が大きい。手順1の $v = \frac{c}{n}$ より、屈折率が大きいほど速さは小さい。ウは正しい。
手順1より、 $v = \frac{c}{n} = \frac{c}{1.5}$ なので、ガラス中の光の速さは真空中の $\frac{1}{1.5}$ 倍(約 $0.67$ 倍)である。エは誤り。
よって正しいものはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

屈折率を速さに掛けて $v = n c$ としてしまう誤り。正しくは $n = \frac{c}{v}$ より $v = \frac{c}{n}$ で、屈折率が大きいほど光は遅い(例: $n = 1.5$ なら $v = \frac{c}{1.5}$ )。
屈折すると振動数(色)が変わるとしてしまう誤り。正しくは振動数 $f$ は変わらず、速さと波長が $v = \frac{c}{n}$ 、 $λ = \frac{λ _{0}}{n}$ のように変わる。
全反射は屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ進むときに起こるとしてしまう誤り。正しくは $n_{1} > n_{2}$ のとき、入射角 $θ_{1}$ が $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ で決まる臨界角 $θ_{c}$ より大きいときに起こる(水 $n = 1.33$ から空気へなら $sin θ_{c} = \frac{1}{1.33}$ )。
波長の長い赤い光ほど大きく曲がる、あるいは真空中でも色によって光速が違うとしてしまう誤り。正しくはガラスや水の中で紫の光ほど屈折率が大きく( $n_{紫} > n_{赤}$ )大きく曲がり、真空中ではどの色も速さは $c$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
屈折率 $1.50$ のガラスと屈折率 $1.33$ の水が、平らな境界面で接している。この境界面に単色光を当てる。
境界面で光が全反射するのはどのような場合か。最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　光が水中からガラス中へ進もうとし、入射角が臨界角より大きいとき
- イ　光がガラス中から水中へ進もうとし、入射角が臨界角より小さいとき
- ウ　光がガラス中から水中へ進もうとし、入射角が臨界角より大きいとき
- エ　光が水中からガラス中へ進もうとし、入射角が臨界角より小さいとき

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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