薄膜・くさび形空気層・ニュートンリングの干渉

薄膜・くさび形空気層・ニュートンリングで、反射による位相のずれと光路差から強め合い・弱め合いの条件を判定でき、色づきや縞の見え方を説明できる

前提

2 つの波源からの波の干渉（高校物理波動（知識））
光の屈折率・全反射・分散（高校物理波動（知識））

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光の屈折率・全反射・分散（高校物理波動（知識））

説明

シャボン玉や水面の油膜が虹色に見えたり、2枚のガラス板のすき間に縞模様が見えたりするのは、薄い層の表と裏で反射した光が干渉するためです。この技能では、2つの反射光の「光路差」と「反射による位相のずれ」から、強め合い（明るい）・弱め合い（暗い）の条件を立てます。そのうえで、薄膜の色づき、くさび形空気層の平行な縞、ニュートンリングの同心円の縞の見え方を説明します。

なぜそうしてよいのか

薄膜に光が当たると、膜の上面で反射する光と、膜に入って下面で反射して戻る光の2つに分かれます。2つは同じ光から分かれたので、もとは同位相の波です。2つの波源からの干渉と同じように、たどった道のりの差で強め合いか弱め合いかが決まります。ただし膜の中では光速が $v = \frac{c}{n}$ に下がり、振動数は変わらないので、波長も $\frac{λ}{n}$ に縮みます。厚さ $d$ の膜を往復する距離 $2 d$ には、波長 $\frac{λ}{n}$ の波が $\frac{2 d}{λ / n} = \frac{2 n d}{λ}$ 個入ります。これは真空中で $2 n d$ 進むのと同じ数なので、 $n \times$ （距離）を「光路長」とよび、光路差 $2 n d$ を真空中の波長 $λ$ と比べます。斜めに入射して膜の中の屈折角が $r$ のときは、光路差は $2 n d cos r$ になります。

もう一つ大切なのが反射での位相のずれです。屈折率の小さい媒質から大きい媒質との境界で反射する光は、固定端反射のように位相が $π$ ずれます（半波長ずれる）。屈折率の大きい媒質から小さい媒質との境界で反射する光は、自由端反射のように位相がずれません。2つの反射光のうち片方だけが $π$ ずれると、もとから逆位相の波を重ねることになるので、強め合いと弱め合いの条件が入れかわります。両方ずれる場合や、どちらもずれない場合は、ずれが打ち消し合うので入れかわりません。

膜の厚さが場所によって変わると、場所ごとに明暗が変わって縞ができます。また強め合う厚さは波長によって違うので、白色光を当てると場所によって強め合う色が異なり、膜が色づいて見えます。

手順

干渉する2つの反射光（層の上面で反射する光と下面で反射する光）を見つけ、光路差を書く。層の屈折率を $n$ 、厚さを $d$ として、垂直入射なら $2 n d$ （空気層なら $n = 1$ で $2 d$ ）とする。
それぞれの反射面で、位相のずれを判定する。屈折率が小→大の境界での反射なら $π$ ずれ、大→小の境界での反射ならずれなし。
条件を立てる（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）。ずれが片方だけなら、明るい条件は $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ 、暗い条件は $2 n d = mλ$ 。ずれが両方またはどちらもなしなら、明るい条件は $2 n d = mλ$ 、暗い条件は $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ 。
厚さ $d$ を位置で表す。くさび形（接点から長さ $L$ の位置にすき間 $D$ ）では、接点から $x$ の位置で $d = \frac{D}{L} x$ 。ニュートンリング（半径 $R$ の球面と平面）では、中心から $r$ の位置で $R^{2} = r^{2} + (R - d)^{2}$ となり、 $d$ が $R$ より十分小さいとき $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ 。
見え方を読み取る。縞の位置と間隔、接点（ $d = 0$ ）が明るいか暗いかを調べる。透過光で見ると明暗は反射光と逆になる。白色光なら、強め合う波長が厚さによって違うので色づく。

例題

平らなガラス板の上に、曲率半径 $R$ の平凸レンズの球面側をのせ、真上から波長 $λ$ の単色光を当てる。そして、真上から反射光を観察する。レンズとガラスの間は空気（屈折率 1）で、ガラスの屈折率は 1 より大きい。空気層の厚さ $d$ は $R$ に比べて十分小さく、 $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ （ $r$ は接点からの距離）と近似できるものとする。見える縞のようすとして正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　中心は明るく、外側ほど暗い環の間隔が広くなる。
イ　中心は暗く、外側ほど暗い環の間隔が狭くなる。
ウ　中心は暗く、暗い環は等間隔に並ぶ。
エ　中心は明るく、暗い環は等間隔に並ぶ。

例題の解答

手順1：干渉するのは、レンズ下面（ガラス→空気）で反射する光と、ガラス板上面（空気→ガラス）で反射する光である。空気層を往復するので、光路差は $2 d$ 。
手順2：レンズ下面での反射は屈折率が大→小なので、位相はずれない。ガラス板上面での反射は小→大なので、 $π$ ずれる。ずれは片方だけである。
手順3：片方だけずれるので、条件が入れかわる。暗い条件は $2 d = mλ$ （ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）である。
手順4： $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ を代入すると $\frac{r ^{2}}{R} = mλ$ より、暗い環の半径は $r = m R λ$ となる。
手順5：中心（ $r = 0$ 、 $d = 0$ ）は $m = 0$ の暗い条件を満たすので暗い。暗い環の半径は $R λ, 2 R λ, 3 R λ, \dots$ と $m$ に比例する。そのため隣どうしの差は $m$ が大きいほど小さくなり、外側ほど間隔が狭くなる。よって正しいのはイ。

答え:

イ

よくある誤り

屈折率 $n$ の膜で、光路差を $2 d$ としてしまう誤り。正しくは、膜の中では波長が $\frac{λ}{n}$ に縮むので、光路差は $2 n d$ とし、真空中の波長 $λ$ と比べる。 $2 d$ を使うなら、膜の中の波長 $\frac{λ}{n}$ と比べる。両方を混ぜない。
反射の位相のずれは必ず片方だけと決めつけてしまう誤り。正しくは面ごとに判定する。例えば、ガラス（屈折率 1.5）の表面に屈折率 1.38 の膜をつけた場合、空気→膜も膜→ガラスも小→大なので、両方で $π$ ずれる。このとき反射光が弱め合う条件は $2 n d = (m + \frac{1}{2}) λ$ で、入れかわらない。
ニュートンリングの環が等間隔に並ぶとしてしまう誤り。正しくは、厚さが $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ と $r^{2}$ に比例するので、暗い環の半径は $r = m R λ$ となり、外側ほど間隔が狭い。等間隔になるのは、厚さが $x$ に比例するくさび形空気層である。その間隔は $Δ x = \frac{λ L}{2 D}$ 。
透過光で見たときも、反射光と同じく中心や接点が暗いとしてしまう誤り。正しくは、透過光の明暗は反射光と逆になる。反射光で暗く見える中心（ $d = 0$ ）は、透過光では明るく見える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気中で、平らな 2 枚のガラス板を重ね、一方の辺どうしをぴったり接触させ、反対側の辺のすき間に薄い紙を 1 枚はさんだ。2 枚のガラス板の間には、接触している辺から紙のほうへ向かって厚さが一様に増える、くさび形の空気層ができている。真上から単色光を当て、真上から反射光を観察すると、接触している辺に平行な明暗の縞が等間隔に見えた。
このとき、2 枚のガラス板が接触している辺の位置で、上のガラス板の下面で反射した光と、下のガラス板の上面で反射した光が重なり合ってどのように見えるか。その見え方と理由の組として最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、ガラスの屈折率は空気の屈折率より大きいものとする。
- ア　明るく見える。2 つの光の経路の差は $0$ で、どちらの反射でも位相が変わらないから。
- イ　暗く見える。2 つの光の経路の差は $0$ で、どちらの反射でも位相が $π$ ずれるから。
- ウ　明るく見える。2 つの光の経路の差は $0$ で、どちらの反射でも位相が $π$ ずれるから。
- エ　暗く見える。2 つの光の経路の差は $0$ で、一方の反射でだけ位相が $π$ ずれるから。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）

空気中で、平らなガラス板の上に、球面の側を下にして平凸レンズを置いた。レンズとガラス板は中心の 1 点だけで接しており、そのまわりには、中心から離れるほど厚くなる薄い空気の層ができている。真上から単色光を当て、真上から反射光を観察すると、接点を中心とする同心円状の明暗の縞（ニュートンリング）が見えた。

この縞は、レンズの下面（ガラスから空気への境界面）で反射した光と、ガラス板の上面（空気からガラスへの境界面）で反射した光が干渉してできる。光が屈折率の小さい媒質から屈折率の大きい媒質へ進もうとして境界面で反射するとき、反射光の位相は【 a 】。そのため、空気の層の厚さが 0 である接点の位置では、2 つの反射光が【 b 】。

文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、ガラスの屈折率は空気の屈折率より大きいものとする。

	a	b
ア	変化しない	弱め合うので、中心は暗く見える
イ	$π$ だけずれる（反転する）	弱め合うので、中心は暗く見える
ウ	変化しない	強め合うので、中心は明るく見える
エ	$π$ だけずれる（反転する）	強め合うので、中心は明るく見える

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
薄膜やくさび形空気層による光の干渉では、異なる経路を通った 2 つの光の位相のずれを比べる。光が屈折率 $n$ の媒質中を進むとき、媒質中での光の波長は真空中の波長 $λ$ の $\frac{1}{n}$ 倍になる。そのため、光が屈折率 $n$ の媒質中を距離 $l$ 進む間に含まれる波の数は、真空中を距離 $n l$ 進む間に含まれる波の数と等しい。
このように、光が媒質中を進む距離 $l$ に、その媒質の屈折率 $n$ をかけて、真空中を進む距離に換算した量 $n l$ を何というか。