2 つの波源からの波の干渉

同位相の 2 波源について、距離の差が波長の整数倍の点で強め合い、半波長の奇数倍の点で弱め合うことを判定できる

前提

波の重ね合わせと自由端・固定端反射（高校物理波動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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音の振動数と波形（中学理科光と音）
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波の重ね合わせと自由端・固定端反射（高校物理波動（知識））

説明

同じタイミング（同位相）で振動する 2 つの波源から出た波が重なると、大きく振動する点と、ほとんど振動しない点ができます。この現象を波の干渉といいます。この技能を身につけると、ある点が強め合う点か弱め合う点かを、2 つの波源からの距離の差だけで判定できるようになります。水面波の干渉や、2 つのスピーカーから出る音の大小などを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

重ね合わせの原理により、点 P の変位は、波源 A からの波の変位と波源 B からの波の変位の和になります。波は 1 波長 $λ$ 進むごとに同じ振動の状態（位相）をくり返します。そのため 2 つの波源が同位相なら、P での 2 つの波の位相のずれは、道のりの差 $∣ A P - B P ∣$ だけで決まります。

距離の差が $0, λ, 2 λ, \dots$ （波長の整数倍）のときは、A からの山と B からの山が同時に P に届き、谷と谷も同時に届きます。山と山、谷と谷が重なるので、P は大きな振幅で振動します（強め合い）。一方、距離の差が $\frac{λ}{2}, \frac{3}{2} λ, \dots$ （半波長の奇数倍）のときは、一方の山と他方の谷が同時に届くので変位が打ち消し合い、P はほとんど振動しません（弱め合い）。2 つの波の振幅が等しければ、弱め合う点は振動しなくなります。

まとめると、 $m = 0, 1, 2, \dots$ として、 $∣ A P - B P ∣ = mλ$ なら強め合い、 $∣ A P - B P ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$ なら弱め合いです。弱め合う点を連ねた線を節線といいます。また、三角形の 2 辺の差は残りの 1 辺より小さいので、距離の差 $∣ A P - B P ∣$ は波源の間隔 AB をこえません。そのため、実際に現れる強め合い・弱め合いの点は、距離の差が AB 以下の範囲に限られます。なお、この条件は 2 波源が同位相のときのものです。2 波源が逆位相（位相が $π$ ずれている）なら、条件は入れかわります。

手順

2 つの波源が同位相で振動していることを確かめる（逆位相なら強め合い・弱め合いの条件が入れかわる）。
調べたい点 P について、2 つの波源からの距離の差 $∣ A P - B P ∣$ を求める（この値は波源の間隔 AB 以下になる）。
距離の差を波長 $λ$ で割り、 $\frac{∣ A P - B P ∣}{λ}$ が整数か、整数 $+ \frac{1}{2}$ かを調べる。
整数（ $∣ A P - B P ∣ = mλ$ ）なら強め合い、整数 $+ \frac{1}{2}$ （ $∣ A P - B P ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$ ）なら弱め合いと判定する（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）。

例題

水面上の 2 点 A, B に置いた波源が、同じ振幅・同じ振動数で同位相で振動し、波長 $λ$ の円形の波を出している。A, B 間の距離は $3 λ$ であり、波の減衰は無視する。水面上の点についての記述として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　A, B からの距離の差が $2 λ$ の点では、波は弱め合う。
イ　A, B からの距離の差が $1.5 λ$ の点では、波は弱め合う。
ウ　A, B からの距離の差が $\frac{λ}{2}$ の点では、波は強め合う。
エ　A, B から等距離にある点（線分 AB の垂直二等分線上の点）では、波は弱め合う。

例題の解答

まず、AB $= 3 λ$ なので、距離の差は $0$ 以上 $3 λ$ 以下の値をとる。選択肢の距離の差 $2 λ$ , $1.5 λ$ , $\frac{λ}{2}$ , $0$ はどれもこの範囲にあるので、そのような点は実際に存在する。
手順 1：2 つの波源は同位相なので、距離の差が $mλ$ なら強め合い、 $(m + \frac{1}{2}) λ$ なら弱め合い（ $m = 0, 1, 2, \dots$ ）という条件がそのまま使える。
手順 2・3：各選択肢の距離の差を $λ$ で割る。
ア： $\frac{2 λ}{λ} = 2$ （整数）
イ： $\frac{1.5 λ}{λ} = 1.5 = 1 + \frac{1}{2}$ （整数 $+ \frac{1}{2}$ ）
ウ： $\frac{λ /2}{λ} = \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2}$ （整数 $+ \frac{1}{2}$ ）
エ：距離の差は $0$ なので $\frac{0}{λ} = 0$ （整数）
手順 4：判定する。
ア：整数なので強め合う。「弱め合う」は誤り。
イ：整数 $+ \frac{1}{2}$ なので弱め合う。正しい。
ウ：整数 $+ \frac{1}{2}$ なので弱め合う。「強め合う」は誤り。
エ：距離の差が $0 = 0 \times λ$ なので強め合う。「弱め合う」は誤り。
よって正しいのはイ。

答え:

イ

よくある誤り

距離の差ではなく、一方の波源からの距離そのものが波長の整数倍かどうかで判定してしまう誤り。正しくは、2 つの波源からの距離の差 $∣ A P - B P ∣$ で判定する（例： $A P = 3 λ$ , $B P = 1.5 λ$ なら差は $1.5 λ$ なので弱め合う）。
「半波長の整数倍なら弱め合う」と覚えてしまう誤り。半波長の偶数倍 $2 m \cdot \frac{λ}{2} = mλ$ は強め合いになる。正しくは、弱め合うのは半波長の奇数倍 $(2 m + 1) \cdot \frac{λ}{2}$ のときだけである。
2 つの波源が逆位相のときにも同じ条件を使ってしまう誤り。逆位相では、波源を出た時点ですでに位相が $π$ ずれているので、 $∣ A P - B P ∣ = mλ$ で弱め合い、 $∣ A P - B P ∣ = (m + \frac{1}{2}) λ$ で強め合う。
距離の差がいくらでも大きくなれると考えてしまう誤り。正しくは $∣ A P - B P ∣ ≦ A B$ なので、例えば $A B = 3 λ$ のとき、距離の差が $3.5 λ$ になる点は存在しない。強め合い・弱め合いの点の数を数えるときは、この範囲に入る $m$ だけを考える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水面上の 2 点 $S_{1}$ , $S_{2}$ を波源として、同じ振幅・同じ振動数で、つねに同位相で振動させ、水面に円形の波を広げた。ただし、波は減衰せずに進み、水面の波の波長はどこでも同じであるものとする。
水面上の点での波の干渉について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　 $S_{1}$ からの距離と $S_{2}$ からの距離の差が波長の整数倍である点では、2 つの波は弱め合う。
- イ　 $S_{1}$ からの距離と $S_{2}$ からの距離の差が半波長の奇数倍である点では、2 つの波は強め合う。
- ウ　 $S_{1}$ からの距離と $S_{2}$ からの距離が等しい点では、2 つの波は強め合う。
- エ　2 つの波が強め合う点では、水面はつねに静止している。

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
波の重ね合わせ・干渉・定常波と、波の反射について述べた文として誤っているものを、次のア〜オから 1 つ選べ。ただし、波は一定の速さで減衰せずに進むものとする。
- ア　自由端で波が反射するとき、入射波の山は山のまま反射し、自由端は入射波と反射波が重なってできる定常波の節になる。
- イ　2 つのパルス波が重なり合ったあと離れると、それぞれのパルス波は重なる前と同じ形・同じ速さで進んでいく。
- ウ　振幅・波長・速さが等しく、互いに逆向きに進む 2 つの正弦波が重なってできる定常波では、隣り合う節と節の間隔はもとの波の波長の半分である。
- エ　固定端で波が反射するとき、反射波は入射波に対して位相が $π$ ずれ（山は谷になって反射し）、固定端は定常波の節になる。
- オ　水面上の 2 つの波源から、同じ振幅・同じ波長の波が同位相で出ているとき、2 つの波源からの距離の差が波長の整数倍となる点では、波は強め合う。

この技能の次に学べること

ヤングの実験と回折格子（高校物理波動（知識））
薄膜・くさび形空気層・ニュートンリングの干渉（高校物理波動（知識））
ブラッグ反射（高校物理原子）