ヤングの実験と回折格子

ヤングの実験で明線間隔 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ が波長・距離・スリット間隔・媒質でどう変わるかを判定でき、回折格子で明線が $d sin θ = mλ$ の方向にできることを説明できる

前提

2 つの波源からの波の干渉（高校物理波動（知識））
光の屈折率・全反射・分散（高校物理波動（知識））

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説明

光を 2 本の細いスリット（二重スリット）に通すと、スクリーンに明暗のしま（干渉じま）ができます。これがヤングの実験です。この技能を使うと、明線の間隔 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ が、波長・スリットとスクリーンの距離・スリット間隔・媒質によってどう変わるかを判定できます。また、細いスリットを等間隔にたくさん並べた回折格子に光を垂直に当てると、明線が $d sin θ = mλ$ を満たす方向にできる理由を説明できます。

なぜそうしてよいのか

【ヤングの実験】単色光を 1 つのスリットに通してから、間隔 $d$ の二重スリット $S_{1}$ , $S_{2}$ に当てます。すると同じ波面が $S_{1}$ , $S_{2}$ に同時に届くので、 $S_{1}$ , $S_{2}$ は同位相の 2 波源とみなせます。ホイヘンスの原理により、各スリットから回折して広がった波がスクリーン上で重なります。スクリーンはスリットから距離 $L$ 離れているとします。 $S_{1}$ , $S_{2}$ から等距離にあるスクリーン上の点を $O$ とし、 $O$ から $S_{1}$ 側へ $x$ の点を $P$ とします。三平方の定理より $S_{1} P^{2} = L^{2} + (x - \frac{d}{2})^{2}$ 、 $S_{2} P^{2} = L^{2} + (x + \frac{d}{2})^{2}$ です。差をとると $S_{2} P^{2} - S_{1} P^{2} = 2 d x$ なので、 $S_{2} P - S_{1} P = \frac{2 d x}{S _{1} P + S _{2} P}$ となります。 $d$ と $x$ が $L$ よりずっと小さいときは $S_{1} P + S_{2} P \approx 2 L$ とみなせるので、経路差は $S_{2} P - S_{1} P \approx \frac{d x}{L}$ です。同位相の 2 波源では、経路差が波長の整数倍のとき強め合います。よって明線の位置は $\frac{d x}{L} = mλ$ より $x = \frac{m L λ}{d}$ （ $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ ）です。暗線は、経路差が $(m + \frac{1}{2}) λ$ の位置にできます。隣り合う明線の間隔は $Δ x = \frac{L λ}{d}$ で、 $λ$ と $L$ に比例し、 $d$ に反比例します。装置全体を屈折率 $n$ の媒質で満たすと、振動数は変わらず、速さが $\frac{c}{n}$ になります。そのため波長は $\frac{λ}{n}$ となり、間隔も $\frac{L λ}{n d}$ と $\frac{1}{n}$ 倍に狭くなります。

【回折格子の経路差】回折格子は、ガラス板などに間隔 $d$ （格子定数）でたくさんのスリットを平行に並べたものです。ここでは、光を格子面に垂直に入射させる場合を考えます。このとき、すべてのスリットに同じ波面が同時に届くので、各スリットは同位相の波源になります。回折した光の進む向きを、格子面の法線（格子面に垂直な直線）から測った角 $θ$ で表します。明線を観察する点は格子から非常に遠く（ $d$ よりはるかに遠く）にあります。そのため、隣り合うスリットからその点へ向かう 2 本の光線のなす角はごく小さく、2 本は平行とみなせます（凸レンズで平行光線を 1 点に集めて観察するときは、光線はちょうど平行です）。いま、隣り合うスリットを $A$ , $B$ とし、 $θ$ 方向に進む平行な 2 光線を考えます。 $A$ から $B$ を通る光線に垂線を下ろし、その足を $H$ とします。直線 $A H$ は光線に垂直なので、この先の 2 光線の道のりは等しくなります。よって経路差は $B H$ の長さです。三角形 $A B H$ は $H$ が直角で、斜辺は $A B = d$ です。 $A B$ は格子面に沿い、 $A H$ は光線に垂直です。光線は法線から $θ$ 傾いているので、 $A H$ も格子面から $θ$ 傾き、 $∠ B A H = θ$ になります。したがって経路差は $B H = d sin θ$ です。 $d sin θ = mλ$ （ $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ ）のとき、隣どうしの光が同位相になります。隣どうしが同位相なら、すべてのスリットからの光が同位相になって強め合い、その方向に明線ができます。

【明線が鋭い理由（スリット数が十分多いときの定性的な説明）】スリットが $N$ 本あるとします。方向が明線の方向から少しずれて、隣どうしの経路差が $mλ$ より $δ$ だけ多くなったとします。このとき、 $1$ 本目と $k$ 本目の光のずれは $(k - 1) δ$ と、スリットごとに積み重なっていきます。たとえば $N δ = λ$ となるほどずれたとします。すると $k$ 本目と $(k + \frac{N}{2})$ 本目の光のずれは、整数倍の波長を除いて $\frac{N}{2} δ = \frac{λ}{2}$ になり、互いに打ち消し合います。そのように組を作ると、全体がほぼ打ち消し合います。 $N$ が大きいほど、打ち消し合いに必要なずれ $δ = \frac{λ}{N}$ はわずかで済みます。そのため回折格子の明線は、二重スリットのしまよりずっと細く鋭くなります。

手順

装置が二重スリット（ヤングの実験）か、多数のスリットが等間隔に並ぶ回折格子かを見分ける
経路差を書く。ヤングの実験では $\frac{d x}{L}$ （ $d, x ≪ L$ のとき）を使う。回折格子（光を格子面に垂直に入射）では、格子面の法線から測った角を $θ$ として、隣り合うスリットどうしの経路差 $d sin θ$ を使う
強め合いの条件を立てる。明線は「経路差 $= mλ$ 」、ヤングの実験の暗線は「経路差 $= (m + \frac{1}{2}) λ$ 」とする（ $m$ は整数）
ヤングの実験では $Δ x = \frac{L λ}{d}$ の比例関係で変化を判定する。 $λ$ や $L$ が大きいと間隔は広がり、 $d$ が大きいと狭まる。屈折率 $n$ の媒質中では $λ$ を $\frac{λ}{n}$ に置き換える
光の色が関係するときは、波長が赤ほど長く紫ほど短いことを使う。 $m \neq = 0$ の明線は、波長の長い赤ほど中央から遠くにできる

例題

ヤングの実験で、単色光を二重スリットに当て、スクリーン上に干渉じまをつくった。ほかの条件を変えずに次の操作を 1 つだけ行うとき、隣り合う明線の間隔が大きくなる操作として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、スリット間隔とスクリーン上の明線の位置は、スリットとスクリーンの距離に比べて十分小さいものとする。
ア　二重スリットのスリット間隔を大きくする。
イ　光を赤色の単色光から紫色の単色光に替える。
ウ　スクリーンを二重スリットから遠ざける。
エ　二重スリットとスクリーンの間を水（屈折率は 1 より大きい）で満たす。

例題の解答

手順 1：二重スリットによる干渉なので、ヤングの実験として扱う。
手順 2・3：経路差 $\frac{d x}{L}$ が $mλ$ に等しい位置に明線ができる。よって明線の位置は $x = \frac{m L λ}{d}$ 、隣り合う明線の間隔は $Δ x = \frac{L λ}{d}$ である。
手順 4・5：各操作による変化を比例関係で調べる。
ア： $d$ が大きくなる。 $Δ x$ は $d$ に反比例するので、間隔は小さくなる。誤り。
イ：紫色光は赤色光より波長 $λ$ が短い。 $Δ x$ は $λ$ に比例するので、間隔は小さくなる。誤り。
ウ： $L$ が大きくなる。 $Δ x$ は $L$ に比例するので、間隔は大きくなる。正しい。
エ：水中では振動数が変わらず、光速が $\frac{c}{n}$ になる。そのため波長は $\frac{λ}{n}$ に短くなり、 $Δ x = \frac{L λ}{n d}$ は小さくなる。誤り。
したがって答えはウである。

答え:

ウ

よくある誤り

スリット間隔 $d$ を大きくすると、しまの間隔も大きくなるとしてしまう誤り。正しくは $Δ x = \frac{L λ}{d}$ で、 $d$ を 2 倍にすると間隔は $\frac{1}{2}$ 倍になる。
屈折率 $n$ の媒質中で、波長を $nλ$ と大きくしてしまう誤り。正しくは、振動数が変わらず速さが $\frac{c}{n}$ になるので、波長は $\frac{λ}{n}$ になる。間隔は $\frac{L λ}{n d}$ と狭くなる。
回折格子の $θ$ を格子面から測った角として、経路差を $d cos θ$ にしたり、 $d sin θ$ に格子面からの角を入れたりしてしまう誤り。正しくは、 $θ$ は格子面の法線から測った角である。光を格子面に垂直に入射させるとき、明線の条件は $d sin θ = mλ$ となる。
白色光を使うと、中央の明線も色に分かれるとしてしまう誤り。正しくは、 $m = 0$ では経路差が 0 で、すべての波長が同じ位置で強め合うので、中央の明線は白い。 $m \neq = 0$ の明線では、 $d sin θ = mλ$ より、波長の短い紫が内側（中央寄り）、赤が外側に並ぶ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気中で、格子定数（隣り合うスリットの間隔） $d$ の回折格子に、白色光を格子面に垂直に当て、回折格子から十分に離れたところで透過光を観察した。光の入射方向となす角 $θ$ の方向に進んだ光について、 $d sin θ = mλ$ （ $λ$ は光の波長、 $m = 0, 1, 2, \dots$ ）を満たす方向に明線ができる。白色光には、波長の長い赤色の光から波長の短い紫色の光まで、さまざまな色（波長）の光が含まれている。
$m = 1$ の明線（1 次の明線）について述べた文として最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、明線ができる角度はいずれも $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ の範囲にあるものとする。
- ア　紫色の光の明線は、赤色の光の明線より大きな角度 $θ$ の方向にできる。
- イ　どの色の光の明線も同じ角度 $θ$ の方向にできるので、1 次の明線は白色に見える。
- ウ　赤色の光の明線は、紫色の光の明線より大きな角度 $θ$ の方向にできる。
- エ　格子定数 $d$ がより大きい回折格子にかえると、同じ色の光の明線は、より大きな角度 $θ$ の方向にできる。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
空気中で、単スリットを通した単色光を、間隔の狭い 2 本のスリット（複スリット）に当て、複スリットから離れたところに複スリットと平行に置いたスクリーンに明暗の縞（干渉縞）をうつすヤングの実験を行った。複スリットからスクリーンまでの距離は、複スリットの間隔に比べて十分大きいものとする。
ほかの条件は変えずに、次の操作のうち 1 つだけを行ったとき、スクリーン上のとなり合う明線の間隔が広くなるものとして最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　スクリーンを複スリットに近づける。
- イ　光源の光を、より波長の短い単色光に変える。
- ウ　複スリットを、2 本のスリットの間隔がより狭いものに取りかえる。
- エ　装置全体を、空気中から水中に移す。