ブラッグ反射

格子面の間隔 $d$ 、視射角 $θ$ から、強い反射の条件 $2 d sin θ = nλ$ を使って波長・格子面間隔・反射が起こる角を求められる

前提

三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
2 つの波源からの波の干渉（高校物理波動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

結晶の中では原子が規則正しく並んでおり、原子が並ぶ平らな面（格子面）が等しい間隔 $d$ で何枚も重なっています。X線などの波を結晶に当てると、各格子面で反射した波が重なり合い、特定の角度のときだけ強い反射が起こります。この技能では、その条件 $2 d sin θ = nλ$ を使います。波長 $λ$ 、格子面間隔 $d$ 、強い反射が起こる角 $θ$ のうち 2 つがわかれば、残りの 1 つを求められます。

なぜそうしてよいのか

波長 $λ$ の平面波（波面がそろい、同位相で進む波）が、格子面に対して角 $θ$ で入射するとします。この $θ$ は格子面の法線からではなく、格子面そのものから測った角で、視射角といいます。1 枚の格子面の上の原子で反射した波は、鏡の反射と同じように反射角が入射角に等しい向きにそろうので、互いに同位相になります。そこで、となり合う 2 枚の格子面で反射した波の道のりの差だけを考えればよいことになります。

下の面で反射する波は、上の面で反射する波より余分に進みます。上の面で反射する点から下の面へ垂線を引いて考えると、入射するときに $d sin θ$ 、反射して出ていくときにも $d sin θ$ だけ長く進みます。したがって道のりの差は $2 d sin θ$ です。反射による位相の変化はどの面でも同じなので、差には影響しません。2 つの波源の干渉と同じく、この差が波長の整数倍なら強め合います。
$2 d sin θ = nλ (n = 1, 2, 3, \dots)$

格子面は非常に多く重なっています。この条件をみたすと全部の面からの反射波がそろって強め合い、条件から少しでもずれると多数の波が打ち消し合って、ほとんど反射が見えなくなります。そのため、決まった角度でだけ鋭く強い反射が現れます。また $sin θ \leq 1$ なので、 $nλ \leq 2 d$ をみたす $n$ しか起こりません。

手順

視射角 $θ$ を確認する。 $θ$ は格子面と入射波のなす角とする。法線から測った角や、入射方向と反射方向のなす角 $2 θ$ が与えられていたら、 $θ$ に直す。
次数 $n$ を決める。 $θ$ を $0$ から大きくしていって最初に現れる強い反射は $n = 1$ 、2 回目は $n = 2$ である（ $n$ は 1 以上の整数）。
条件式 $2 d sin θ = nλ$ を立てる。
求めたい量について解く。 $λ = \frac{2 d sin θ}{n}$ 、 $d = \frac{nλ}{2 sin θ}$ 、 $sin θ = \frac{nλ}{2 d}$ のいずれかを使う。
値を代入して計算し、指定された桁数に丸める。角を求めた場合は $sin θ \leq 1$ をみたすか確かめる。

例題

格子面の間隔が $d = 2.5 \times 1 0^{- 10} m$ の結晶に、波長 $λ$ の X 線を当てる。格子面と X 線のなす角（視射角） $θ$ を $0^{\circ}$ から少しずつ大きくしていくと、 $θ = 3 0^{\circ}$ のときにはじめて強い反射が観測された。X 線の波長 $λ$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1: 問題文の $θ = 3 0^{\circ}$ は格子面と X 線のなす角なので、そのまま視射角として使える。
手順2: $θ$ を大きくしていって最初に現れた強い反射なので、 $n = 1$ である。
手順3: 条件式は $2 d sin 3 0^{\circ} = 1 \times λ$ となる。
手順4: $λ$ について解くと $λ = 2 d sin 3 0^{\circ}$ である。
手順5: 代入して計算する。 $λ = 2 \times (2.5 \times 1 0^{- 10}) \times \frac{1}{2} = 2.5 \times 1 0^{- 10} m$ 。有効数字 2 桁で $2.5 \times 1 0^{- 10} m$ である。

答え: $2.5 \times 1 0^{- 10}$

よくある誤り

格子面の法線から測った角を $θ$ として $2 d sin θ = nλ$ に代入してしまう誤り。正しくは、 $θ$ は格子面から測った角である。法線からの角 $φ$ が与えられたら、 $θ = 9 0^{\circ} - φ$ として $2 d sin θ = 2 d cos φ = nλ$ を使う。
入射方向と反射方向のなす角（波が曲げられた角）をそのまま $θ$ としてしまう誤り。正しくは、その角は $2 θ$ である。たとえば曲げられた角が $6 0^{\circ}$ なら $θ = 3 0^{\circ}$ とする。
道のりの差を $d sin θ$ として $d sin θ = nλ$ としてしまう誤り。正しくは、入射するときと反射して出ていくときの両方で $d sin θ$ ずつ余分に進むので、 $2 d sin θ = nλ$ である。
$n = 0$ を含めたり、 $n$ をいくらでも大きくとれると考えたりする誤り。正しくは $n = 1, 2, 3, \dots$ で、しかも $sin θ = \frac{nλ}{2 d} \leq 1$ より $n \leq \frac{2 d}{λ}$ をみたす $n$ だけが起こる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブラッグの式と回折角（大学化学固体化学と結晶学）
構造因子と X 線回折の消滅則（大学物理固体物理）