ブラッグの式と回折角

$2 d_{hk l} sin θ = λ$ から回折角 $θ$ や $2 θ$ 、格子定数を求められ、高次の回折を指数を整数倍した面の 1 次回折として扱い、観測できる $h^{2} + k^{2} + l^{2}$ の上限 $(\frac{2 a}{λ})^{2}$ を求められる

前提

ミラー指数と面間隔（大学化学固体化学と結晶学）
ブラッグ反射（高校物理原子）

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算数中学高校大学大学院

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ブラッグ反射（高校物理原子）

説明

X 線回折では、結晶の格子面 $(hk l)$ ごとに、ブラッグの式 $2 d_{hk l} sin θ = λ$ を満たす角度でだけ強い回折が観測されます。立方晶の面間隔 $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ と組み合わせると、格子定数 $a$ と X 線の波長 $λ$ から回折角 $θ$ （測定装置で読む角度は $2 θ$ ）を予想したり、逆に観測した $2 θ$ から格子定数を求めたりできます。また、 $sin θ \leq 1$ から、観測できる回折の指数に上限 $h^{2} + k^{2} + l^{2} \leq (\frac{2 a}{λ})^{2}$ があることもわかります。

なぜそうしてよいのか

ブラッグ反射の条件は、間隔 $d$ の平行な面で反射した X 線どうしの経路差 $2 d sin θ$ が波長の整数倍 $nλ$ になること、つまり $2 d sin θ = nλ$ でした。ここで $θ$ は入射 X 線と格子面のなす角（視射角）です。入射方向から見ると回折した X 線は $2 θ$ だけ曲がって進むので、装置で測る角度は $2 θ$ です。

$n \geq 2$ の高次の回折は、両辺を $n$ で割って $2 \cdot \frac{d}{n} sin θ = λ$ と書き直せます。立方晶では $\frac{d _{hk l}}{n} = \frac{a}{( nh ) ^{2} + ( nk ) ^{2} + ( n l ) ^{2}} = d_{nh nk n l}$ なので、 $(hk l)$ 面の $n$ 次の回折は、指数を $n$ 倍した面 $(nh nk n l)$ の 1 次の回折と同じ条件になります。例えば $(111)$ の 2 次回折は $(222)$ の回折として扱います。こうすると、すべての回折を $n = 1$ の式 $2 d_{hk l} sin θ = λ$ で統一して扱えます。

$sin θ$ は 1 を超えないので、 $sin θ = \frac{λ}{2 d _{hk l}} = \frac{λ h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}{2 a} \leq 1$ が必要です。よって観測できるのは $h^{2} + k^{2} + l^{2} \leq (\frac{2 a}{λ})^{2}$ を満たす指数だけです。面間隔が $λ /2$ より小さい面からは、どの角度でも回折は起こりません。

手順

回折に関わる面の指数 $(hk l)$ を決める。 $n$ 次の回折なら指数を $n$ 倍した $(nh nk n l)$ に置き換える
面間隔を $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ で表す
ブラッグの式 $2 d_{hk l} sin θ = λ$ に代入する。測定値が $2 θ$ で与えられたら半分にして $θ$ にする
求めたいもの（ $sin θ$ 、 $θ$ 、 $2 θ$ 、 $d_{hk l}$ 、 $a$ など）について解く。格子定数なら $a = \frac{λ h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}{2 sin θ}$
回折が観測できるか確かめるときは $h^{2} + k^{2} + l^{2} \leq (\frac{2 a}{λ})^{2}$ を調べる

例題

立方晶の結晶に波長 $λ = 0.154 nm$ の X 線を当てたところ、 $(111)$ 面による 1 次の回折が $2 θ = 6 0^{\circ}$ に観測された。この結晶の格子定数 $a$ は何 nm か。 $3 = 1.732$ として、有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: $(111)$ 面の 1 次回折なので、指数は $(111)$ のまま。

手順 2: $d_{111} = \frac{a}{1 ^{2} + 1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{a}{3}$ 。

手順 3: $2 θ = 6 0^{\circ}$ より $θ = 3 0^{\circ}$ 、 $sin θ = \frac{1}{2}$ 。ブラッグの式に代入して $2 \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2} = 0.154$

手順 4: $\frac{a}{3} = 0.154$ より $a = 0.154 \times 3 = 0.154 \times 1.732 = 0.2667 \dots \approx 0.267 nm$

手順 5（確かめ）: $(\frac{2 a}{λ})^{2} = (23)^{2} = 12 \geq 3$ なので、 $(111)$ の回折は確かに観測できる。

答え: $0.267$

よくある誤り

測定された $2 θ$ をそのまま $θ$ としてブラッグの式に入れてしまう誤り（例: $sin 6 0^{\circ}$ を使う）。ブラッグの式の $θ$ は視射角なので、正しくは $2 θ = 6 0^{\circ}$ なら $θ = 3 0^{\circ}$ で $sin θ = \frac{1}{2}$ 。
面間隔を $d_{hk l} = \frac{a}{h + k + l}$ や $a h^{2} + k^{2} + l^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ （例: $d_{111} = \frac{a}{3}$ ）。
$(111)$ の 2 次回折を $2 d_{111} sin θ = λ$ で計算してしまう誤り。正しくは $2 d_{111} sin θ = 2 λ$ 、すなわち $(222)$ 面の 1 次回折 $2 d_{222} sin θ = λ$ （ $d_{222} = \frac{a}{2 3}$ ）として扱う。
観測できる指数の上限を $h^{2} + k^{2} + l^{2} \leq \frac{2 a}{λ}$ と 2 乗し忘れる誤り。 $sin θ = \frac{λ h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}{2 a} \leq 1$ の両辺を 2 乗して、正しくは $h^{2} + k^{2} + l^{2} \leq (\frac{2 a}{λ})^{2}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
格子定数 $a = 0.400 nm$ の立方晶の結晶に、波長 $λ = 0.200 nm$ の X 線を当てる。 $(200)$ 面による回折がブラッグの式 $2 d_{hk l} sin θ = λ$ を満たす視射角 $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）を、弧度法で求めよ。ただし立方晶の面間隔は $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ であり、与えた数値は正確な値とみなす。
$(200)$ 面 $θ$
$(200)$ 面による X 線の反射（模式図）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

粉末 X 線回折パターンのピークの数え上げ（大学化学固体化学と結晶学）