固体化学と結晶学の問題

ある単体の結晶は立方晶系に属し、格子定数を $a$ とする。単位格子（1 辺 $a$ の立方体）の 1 つの頂点を原点とし、3 本の辺に沿って座標軸をとり、座標を $a$ を単位とする分率座標で表す。単位格子中の原子の位置は次の 8 か所で、すべて同じ種類の原子である。
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),$$
$$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$
この結晶の粉末に単一波長の X 線を当てて粉末 X 線回折を測定したところ、回折角（ブラッグ角）$\theta$ が最も小さい回折線は $\theta =14.2^{\circ }$ に現れた。

結晶構造因子が $0$ でない反射はすべて観測され、$0$ となる反射は観測されないものとする。また、面間隔が等しく同じ回折角に重なる反射（異なる指数 $hkl$ の組でも $h^2+k^2+l^2$ が等しいもの）は 1 本の回折線と数える。$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ の範囲に観測される回折線は全部で何本か。整数で答えよ。

元素 X の単体の結晶は、格子定数 $a=0.560\mathrm{nm}$ の立方晶で、ダイヤモンド型構造をとる。単位格子の 1 つの頂点を原点とし、単位格子の 3 本の辺に沿って座標軸をとる。座標を格子定数 $a$ を単位とする分率座標で表す。単位格子の中の X 原子（8 個）の位置は、次の 4 点
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
と、これら 4 点のそれぞれに $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ を加えた 4 点である。

この結晶の粉末に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を測定する。回折は、ミラー指数 $(hkl)$ の格子面によるブラッグ反射 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$（$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$）として起こるものとする。ここで $h,k,l$ は整数で $(h,k,l)\ne (0,0,0)$ とし（$h,k,l$ のうちいくつかが 0 であってもよい）、高次の回折は指数を整数倍した $(hkl)$ として扱う。面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ である。

すべての原子は同じ原子散乱因子 $f(\ne 0)$ をもち、構造因子 $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ が $0$ になる反射だけが観測されない（それ以外の反射はすべて観測できる）とする。また、$h^2+k^2+l^2$ の値が等しい反射は同じ回折角に重なるので 1 本の回折線と数える。

この測定で観測される回折線は何本か。

ある金属 X の結晶は体心立方格子をとり、単位格子（立方体）の 8 個の頂点と立方体の中心に X 原子が 1 個ずつ位置している。単位格子の 1 辺の長さは $a=0.330\mathrm{nm}$ である。X のモル質量を $92.9\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、アボガドロ定数を $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ として、この結晶の密度を $\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、結晶には欠陥がないものとする。

格子定数 $a=0.300\mathrm{nm}$ の体心立方格子をとる単体の金属の粉末に、波長 $\lambda =0.150\mathrm{nm}$ の X 線を当てて粉末 X 線回折パターンを測定する。体心立方格子では、$h+k+l$ が奇数の反射は消滅し、$h+k+l$ が偶数の反射だけが観測される。面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、回折の条件はブラッグの式 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ とし、$\sin \theta <1$ となる回折線だけが観測されるものとする。同じ $h^2+k^2+l^2$ の値をもつ反射は同じ角度に重なって 1 本の回折線になるとして、観測される回折線は何本か。ただし $h,k,l$ は整数で、$(h,k,l)\ne (0,0,0)$ とする。

ある仮想的な金属の結晶は六方格子をもつ。単位格子は基本ベクトル ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\vec{c}$ で張られる平行六面体で、次の条件を満たす。

• $|{\vec{a}}_1|=|{\vec{a}}_2|=a$、${\vec{a}}_1$ と ${\vec{a}}_2$ のなす角は $120^{\circ }$
• $\vec{c}$ は ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2$ の両方に垂直で、$|\vec{c}|=c=\sqrt{2}a$

単位格子の頂点 O を原点とし、位置を $x{\vec{a}}_1+y{\vec{a}}_2+z\vec{c}$ の係数 $(x,y,z)$（分率座標）で表す。原子は $(0,0,0)$ と単位格子の内部の点 $\mathrm{P}\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{2}\right)$ にあり、さらにそれらを ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\vec{c}$ の整数倍の和だけ平行移動したすべての位置にも原子がある。ほかの位置には原子はない（理想的な $c/a$ をもつ六方最密構造とは $c/a$ の値が異なる）。

原子を同じ半径の剛体球とみなす。球の半径は最近接原子間距離の $\frac{1}{2}$ とする。つまり、最も近い原子どうしがちょうど接する。このとき、この結晶の充填率（単位格子の体積のうち、原子の球が占める体積の割合）を、根号と $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。